Kezdőlap


Feladat:	Gy.2484	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1989/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/április: Gy.2484

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mérjük fel a szakaszokat egymáshoz csatlakozóan, a megadott sorrendben egy egyenesre. Így egy $A B$ szakaszt kapunk, amelynek felezőpontját jelöljük $F$ -fel. Ha az $F$ pont éppen két szakasz csatlakozási pontja (1/a ábra), akkor máris készen vagyunk, hiszen $F$ körül összehajtva az $A B$ szakaszt, éppen egy, a kívánt tulajdonságú töröttvonalhoz jutunk. Ebből a töröttvonalból könnyen készíthetünk egy konvex sokszöget, ugyanis a feltételből következik, hogy sem az $A F$ , sem az $F B$ szakasz nem egyetlenegy $a_{i}$ szakaszból áll, tehát, ha az $F$ körül történt összehajtás után az egybeeső $A$ és $B$ pontokat rögzítjük, az $F$ pontot pedig egy "kicsit'' közelebb visszük ehhez, akkor az $A F$ szakaszból is és az $F B$ szakaszból is egy-egy olyan töröttvonal keletkezik, amelyek együtt az 1/b ábrán látható konvex sokszöget alkotják.

1/a ábra

1/b ábra

F

pont nem két kis szakasz csatlakozási pontja, akkor valamelyik

a_{i}

szakasz belsejébe esik. A feltételből következik, hogy

1 < i < n

; jelöljük az

a_{i}

szakasz két végpontját

C

-vel és

D

-vel. Ekkor az

A C

C D

és

D B

szakaszokból háromszög szerkeszthető, mivel ezekre a szakaszokra teljesül a háromszög-egyenlőtlenség :

\begin{matrix} A C + C D > A F = F B > D B, \\ C D + D B > F B = A F > A C, \end{matrix}

továbbá a feltétel miatt

\begin{matrix} A C + D B = a_{1} + ... + a_{i - 1} + a_{i + 1} + ... + a_{n} > a_{i} = C D . \end{matrix}

A C

C D

D B

szakaszokból összeállított háromszög a feladat feltételeinek megfelelő töröttvonal. (Ebből a töröttvonalból is készíthetünk egyébként zárt

n

szöget, ha a 2. ábrán látható módon a hajtogatás után egybeeső

A

és

B

pontokat "közelebb visszük'' a

C D

szakaszhoz.)

2. ábra

Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzés. A feladatban szereplő feltétel szükséges is, mert ha valamelyik

a_{i}

szakasz hossza nagyobb, mint az összes többié együttvéve, akkor ezekből nyilván nem készíthető zárt töröttvonal.