Feladat: Gy.2454 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1989/január, 17. oldal  PDF file
Témakör(ök): Abszolútértékes egyenletek, Függvénytranszformációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/január: Gy.2454

Oldjuk meg az alábbi egyenletet :
|||||x|-8|-4|-2|-1|=||...||x|-1|...|-115db (-1)-es|

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje f(x) és g(x) az egyenlet bal, illetve jobb oldalán álló függvényeket. Megmutatjuk, hogy f(x)=g(x) minden valós x-re teljesül, azaz egyenletünknek minden valós szám megoldása. Ehhez készítsük el az f és g függvények grafikonját. A grafikonok elkészítésekor felhasználjuk, hogy tetszőleges h függvényre |h(x)| grafikonját a következőképpen kaphatjuk meg: h grafikonjának az x tengely feletti részét megtartjuk, és ehhez hozzátesszük h grafikonja x tengely alatti részének az x tengelyre vonatkozó tükörképét.
Az f függvény grafikonját 4 lépésben készítjük el. Kiindulunk az x|x| függvény ismert grafikonjából, majd ezután az egyes kivonások hatását ‐ az egyszerűség kedvéért ‐ nem a grafikon lefelé csúsztatásával jelezzük, hanem az x tengelyt toljuk fölfelé. A grafikon készítésének fázisait az ábrán láthatjuk. A V-alakú részek száma minden lépésben megduplázódik, a [-16,16] intervallumon pedig lépésenként felére csökken az értékkészlet nagysága, így a [0,16] intervallum végül [0,1]-re zsugorodik. (Az ábrán a 15 darab " csúcsnál'' lévő jel azt mutatja, hogy a csúcs hányadik lépésben került végső helyére.)
Készítsük el g grafikonját 15 lépésben. Az x|x| függvény [0,16] értékkészlete a [-16,16] intervallumon mindegyik lépésben eggyel lesz rövidebb, tehát az utolsó lépésben itt is a [0,1] intervallumhoz jutunk. A " fűrészfogak'' száma lépésenként eggyel nő, a 15. lépés után éppen 15; ekkor a V-alakú részek száma 1+15=16, azaz éppen f grafikonját kapjuk meg.