Kezdőlap


Feladat:	Gy.2447	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benkő Dávid , Mezei József
Füzet:	1988/május, 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/december: Gy.2447

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy

\begin{matrix} t^{4} + t^{2} + 1 = (t^{2} + t + 1) (t^{2} - t + 1), \end{matrix}

(2)

így ha valamely pozitív egész

t -

t^{2} - t + 1

felírható

x^{2} + x + 1

alakban, akkor az

y = t, z = t^{2}

választással az (1) egyenlet egy megoldását kapjuk.
Elegendő tehát megmutatnunk, hogy (2) jobb oldalán a második tényező,

t^{2} - t + 1

végtelen sok pozitív egész

t

-re írható

x^{2} + x + 1

alakba. A

\begin{matrix} t^{2} - t + 1 = x^{2} + x + 1 \end{matrix}

egyenletből rendezés és szorzattá alakítás után

\begin{matrix} (x + t) (x - t + 1) = 0 \end{matrix}

adódik. Ha az első tényező 0, akkor

x

és

t

ellenkező előjelűek lesznek; a második tényezőből kapott megoldást

(x = t - 1)

visszahelyettesítve viszont a

\begin{matrix} t^{2} - t + 1 = {(t - 1)}^{2} + (t - 1) + 1 \end{matrix}

azonosságot kapjuk, ennek felhasználásával pedig (2) a

\begin{matrix} {(t^{2})}^{2} + t^{2} + 1 = (t^{2} + t + 1) [{(t - 1)}^{2} + (t - 1) + 1] \end{matrix}

alakot ölti.
Az (1) egyenletnek tehát megoldásai a

(t - 1, t, t^{2})

számhármasok, amelyek pozitív számokból állnak, ha

t > 1

és a t különböző értékeire különbözőek, így az (1) egyenlet valóban végtelen sok, pozitív számokból álló

(x, y, z)

számhármasra teljesül.

Benkő Dávid (Budapest, Móricz Zs. Gimn., III. o. t.)

dolgozata nyomán

Megjegyzések. 1. Az (1) egyenletnek nemcsak a talált típusú megoldásai léteznek. Látható, hogy az

(1, 9, 16)

számhármas is megoldás, és nem

(t - 1, t;