Kezdőlap


Feladat:	Gy.2437	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1988/március, 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gúlák, Kocka, Paralelepipedon, Térfogat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/október: Gy.2437

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az eredeti, négyzet alapú hasáb térfogata $6 \cdot 6 \cdot 12 = 432 {cm}^{3}$ . A levágott gúlák mindegyikének egy $6$ cm befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög az alaplapja, az ehhez tartozó magasság pedig a hasáb oldaléle. Ezeknek a gúláknak a térfogata tehát $\frac{6 \cdot 6}{2} \cdot \frac{12}{3} = 72 {cm}^{3}$ .

E gúlák közül a szomszédosaknak közös részük is van. Az

A A' B' D'

és a

B B' A' C'

gúlák közös része például az ábrán látható

A' B' O K

gúla, ahol

O

a fedőlap,

K

pedig az

A B B' A'

oldallap középpontja. Ennek a gúlának a fedőlapon lévő

A' B' O

lapjához tartozó magassága éppen a hasáb oldalélének a fele, tehát az

A' B' O K

és a vele egybevágó további három, közös részként adódó gúla térfogata :

\frac{6 \cdot 6}{4} \cdot \frac{6}{3} = 18 {cm}^{3}

.
A megmaradó test térfogatát ezután úgy kapjuk, hogy a hasáb térfogatából levonjuk a négy levágott gúla térfogatát, majd az eredményhez hozzáadjuk (visszaadjuk) a közös részek kétszer levont térfogatát. A megmaradó test térfogata így :

\begin{matrix} V = 432 - 4 \cdot 72 + 4 \cdot 18 = 216 {cm}^{3} . \end{matrix}

Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés: Az idom térfogata éppen egyenlő a hasáb térfogatának a felével. Ehhez az eredményhez közvetlenül is eljuthatunk, ha az idomnak a hasáb felső részében elhelyezkedő darabját az

O K M

és

O N L

síkokkal négy egybevágó részre osztjuk, majd ezeket a részeket az

N K

K L

L M

és

M N

tengelyek mentén leforgatjuk. Ekkor ugyanis egy kockát kapunk, melynek térfogata éppen fele a hasábénak.