Feladat: Gy.2437 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1988/március, 121. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gúlák, Kocka, Paralelepipedon, Térfogat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/október: Gy.2437

Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapélei 6 cm, oldalélei pedig ‐ AA', BB', CC' és DD'12 cm hosszúak. A hasábból levágjuk az AA'B'D' BB'A'C', CC'B'D' és DD'A'C' gúlákat. Mekkora a megmaradó test térfogata?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az eredeti, négyzet alapú hasáb térfogata 6612=432cm3. A levágott gúlák mindegyikének egy 6 cm befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög az alaplapja, az ehhez tartozó magasság pedig a hasáb oldaléle. Ezeknek a gúláknak a térfogata tehát 662123=72cm3.

 
 

E gúlák közül a szomszédosaknak közös részük is van. Az AA'B'D' és a BB'A'C' gúlák közös része például az ábrán látható A'B'OK gúla, ahol O a fedőlap, K pedig az ABB'A' oldallap középpontja. Ennek a gúlának a fedőlapon lévő A'B'O lapjához tartozó magassága éppen a hasáb oldalélének a fele, tehát az A'B'OK és a vele egybevágó további három, közös részként adódó gúla térfogata : 66463=18cm3.
A megmaradó test térfogatát ezután úgy kapjuk, hogy a hasáb térfogatából levonjuk a négy levágott gúla térfogatát, majd az eredményhez hozzáadjuk (visszaadjuk) a közös részek kétszer levont térfogatát. A megmaradó test térfogata így :
V=432-472+418=216cm3.

Ezzel a feladatot megoldottuk.
 

Megjegyzés: Az idom térfogata éppen egyenlő a hasáb térfogatának a felével. Ehhez az eredményhez közvetlenül is eljuthatunk, ha az idomnak a hasáb felső részében elhelyezkedő darabját az OKM és ONL síkokkal négy egybevágó részre osztjuk, majd ezeket a részeket az NK, KL, LM és MN tengelyek mentén leforgatjuk. Ekkor ugyanis egy kockát kapunk, melynek térfogata éppen fele a hasábénak.