A bizonyítást a pontok számára vonatkozó teljes indukcióval végezzük. Ha $n=\mathrm{3,}$ akkor a körön bármely két pont szomszédos, így nincs összeköthető pontpár, számuk valóban $3-3=0.$
Vegyük észre, hogy a feladat állításában nincs jelentősége annak, hogy a pontokat éppen az $1$-től $n$-ig terjedő pozitív egészekkel számoztuk meg. Ha $a_1<a_2<\text{...}<a_n$ valós számok és az $i$ számú pontra az $a_i$ számot írjuk, akkor két pont akkor és csak akkor lesz összeköthető az új számozás mellett, ha eredetileg is az volt, így a fenti típusú átszámozással az összeköthető pontpárok száma sem változik.
A továbbiakban legyen az $n$ legalább $\mathrm{4,}$ és tegyük fel, hogy a feladat állítása igaz $\left(n-1\right)$-re, mégpedig a fenti észrevétel szerinti általánosabb értelemben.
Legyenek tehát $a_1<a_2<\text{...}<a_n$ valós számok, vegyünk fel a körön $n$ pontot és számozzuk meg őket az $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n$ számokkal. Jelölje $A_i$ azt a pontot, amelyik az $a_i$ számot kapta. Ekkor a legkisebb számú pont, $A_1$ egyetlen további ponttal sem köthető össze, két szomszédja viszont az $A_1$ -en keresztül igen. Ezek ugyanis nem szomszédosak, hiszen a pontok száma legalább $4.$
Hagyjuk most el az $A_1$ pontot. A megmaradó pontok között az indukciós feltevés szerint $n-4$ összeköthető pontpár van. Ezek között biztosan nincs ott az $A_1$ két szomszédja, hiszen az $A_1$ elhagyása után ezek már szomszédosak. Bármely további összekötés viszont megmarad, hiszen $A_1$ egyetlen ponttal sincs összekötve, és ha két pont nem az $A_1$ két szomszédja, akkor nyilván továbbra is összeköthetők maradnak. Nem is jön létre új összeköthető pontpár az $A_1$ elhagyásával, mert az $A_1$ két szomszédját kivéve egyetlen további pontpárt összekötő íven sem csökken a felírt számok maximuma.
Az $A_1$ elhagyása után tehát pontosan $1$-gyel csökken az összeköthető pontpárok száma, így eredetileg ez a szám valóban $n-3.$ Ezzel igazoltuk, hogy az indukciós feltevés öröklődik $\left(n-1\right)$-ről $n$-re, és mivel $n=3$-ra igaz, a bizonyítást befejeztük.