Feladat: Gy.2431 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1988/április, 165. oldal  PDF file
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Egységtörtes felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/október: Gy.2431

Keressük meg azokat az x, y, z egész számokat, amelyekre
1x+1y+1z=1x+y+z.(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletben szereplő törtek xyz(x+y+z)0 esetén értelmesek. A nevezőkkel való szorzás után

(x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz
adódik.
Beszorzás után rendezzünk az x hatványai szerint:
x2(y+z)+x(y+z)2+yz(y+z)=0.
A bal oldalon (y+z) kiemelése után
(y+z)(x2+x(y+z)+yz)=(y+z)(x+z)(x+y).
Az egyenletnek tehát pontosan azok a számhármasok a megoldásai, amelyek egyik eleme sem nulla s melyek három eleme közül kettő egymásnak ellentettje.