Kezdőlap


Feladat:	Gy.2424	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/január, 28 - 29. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok approximációja, Irracionális számok és tulajdonságaik, Irracionális egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/szeptember: Gy.2424

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $n$ értéke rendre $1$ , $2$ , $3$ , akkor $\sqrt[]{3} = 1,7 ...$ ; $\sqrt[]{7} = 2,6 ...$ ; $\sqrt[]{13} = 3,6 ...$ . Megmutatjuk, hogy ha $n ≧ 4$ , akkor a kérdéses számjegy az $5$ -ös.
Mivel $n^{2} < n^{2} + n + 1 < {(n + 1)}^{2}$ , ezért

\begin{matrix} [\sqrt[]{n^{2} + n + 1}] = n . \end{matrix}

A tizedesvessző után álló

α

számjegyre tehát

\begin{matrix} n + \frac{α}{10} < \sqrt[]{n^{2} + n + 1} < n + \frac{α + 1}{10}, azaz \\ 10 n + α < 10 \sqrt[]{n^{2} + n + 1} < 10 n + α + 1. \end{matrix}

Négyzetre emelve és a kapott egyenlőtlenség minden tagjából

100 n^{2}

-et levonva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 20 n α + α^{2} < 100 n + 100 < 20 n (α + 1) + {(α + 1)}^{2} . \end{matrix}

Az első egyenlőtlenségből rendezés után

\begin{matrix} 20 n (α - 5) + α^{2} < 100 \end{matrix}

(1)

adódik. A bal oldal

n

és

α

szerint is növekvő, ezért ha

n ≧ 4

, akkor (1) csak úgy teljesülhet, ha

α ≦ 5

.
A második egyenlőtlenségből hasonlóan

\begin{matrix} 100 < 20 n (α - 4) + {(α + 1)}^{2} ≦ 20 n (α - 4) + 10^{2}, hisz α ≦ 9, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 0 < 20 n (α - 4), \end{matrix}

(2)

ami akkor és csak akkor igaz, ha

α ≧ 5

.
Ezzel beláttuk, hogy ha

n

3

-nál nagyobb, pozitív egész, akkor a

\sqrt[]{n^{2} + n + 1}

számban

5

-ös számjegy áll a tizedesvessző után.