Feladat: Gy.2424 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1988/január, 28 - 29. oldal  PDF file
Témakör(ök): Valós számok approximációja, Irracionális számok és tulajdonságaik, Irracionális egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/szeptember: Gy.2424

Határozzuk meg minden pozitív egész n-re a n2+n+1 számban a tizedesvessző után álló első számjegyet.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha n értéke rendre 1, 2, 3, akkor 3=1,7...;  7=2,6...;  13=3,6.... Megmutatjuk, hogy ha n4, akkor a kérdéses számjegy az 5-ös.
Mivel n2<n2+n+1<(n+1)2, ezért

[n2+n+1]=n.

A tizedesvessző után álló α számjegyre tehát
n+α10<n2+n+1<n+α+110,azaz10n+α<10n2+n+1<10n+α+1.



Négyzetre emelve és a kapott egyenlőtlenség minden tagjából 100n2-et levonva kapjuk, hogy
20nα+α2<100n+100<20n(α+1)+(α+1)2.

Az első egyenlőtlenségből rendezés után
20n(α-5)+α2<100(1)
adódik. A bal oldal n és α szerint is növekvő, ezért ha n4, akkor (1) csak úgy teljesülhet, ha α5.
A második egyenlőtlenségből hasonlóan
100<20n(α-4)+(α+1)220n(α-4)+102,hiszα9,
azaz
0<20n(α-4),(2)
ami akkor és csak akkor igaz, ha α5.
Ezzel beláttuk, hogy ha n a 3-nál nagyobb, pozitív egész, akkor a n2+n+1 számban 5-ös számjegy áll a tizedesvessző után.