Feladat: Gy.2389 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bánkövi Johanna ,  Beke T. ,  Benczúr A. ,  Bereczky Á. ,  Cynolter G. ,  Fleiner T. ,  Hajnal Z. ,  Károlyi Enikő ,  Keleti T. ,  Majoros L. ,  Rimányi R. ,  Sustik M. ,  Szabó 484 P. ,  Szabó 639 A. ,  Szalay Gy. ,  Szederkényi Judit ,  Varga Zs. ,  Vasy A. ,  Zaránd G. 
Füzet: 1987/október, 296 - 298. oldal  PDF file
Témakör(ök): Alakzatok egybevágósága, Gömbi geometria, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gömb és részei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/január: Gy.2389

Az egységsugarú gömb felületére 6 egyenlő sugarú kört rajzolunk úgy, hogy a körvonalak ne metsszék egymást. Legfeljebb mekkora lehet a körök sugara?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két feladatra közös megoldást adunk. Azt állítjuk, hogy a körök maximális sugara mindkét esetben ugyanakkora, 22. Ehhez egyrészt megmutatjuk, hogy 6 darab 22 sugarú kör még elhelyezhető a gömbfelületen, viszont 22-nél nagyobb sugarú körökből már 5 darab sem fér el a gömbön.

 
 
1.a ábra
 

 
 
1.b ábra
 

Tekintsünk egy olyan kockát, melynek minden éle érinti a gömböt (1. ábra). A kocka hat lapja hat kört metsz ki a gömbből, ezek éppen a kockalapok beírt körei. A kockaélek felezőpontjai illeszkednek a gömbfelületre, hiszen a szimmetria miatt a gömb éppen ezekben a pontokban érinti az éleket. Egy lap két szemközti élének felezőpontja, valamint a gömb középpontja egyenlő szárú, derékszögű háromszöget határoz meg, melynek befogói gömbsugarak, átfogója tehát 2. Az átfogó ugyanakkor a lemetszett körök átmérőjével egyenlő, így ezek sugara 22. Ez pedig azt jelenti, hogy 6 darab 22 sugarú kör elhelyezhető a feltételeknek megfelelően.
Tegyük most fel, hogy elhelyeztünk 5 darab egybevágó kört a gömbfelületen úgy, hogy azok nem metszik egymást. A körök sugara ekkor 1-nél kisebb, mert egy gömb bármely két főköre metszi egymást. Egyértelműen léteznek tehát a gömb középpontjából induló, az adott körök középpontján átmenő félegyeneseknek a gömbbel való metszéspontjai. Nevezzünk egy-egy ilyen pontot a szóban forgó kör ,,felületi középpontjának''. Nyilvánvaló, hogy annál nagyobb a körök sugara, minél nagyobb a felületi középpontok közül a két legközelebbinek a gömbi távolsága. (Két pont gömbi távolsága a két ponton átmenő főkörben a pontok közötti rövidebb ív hossza.)
Mivel két érintkező, 22 sugarú kör felületi középpontjának gömbi távolsága egységnyi sugarú gömbön éppen π2 ‐ ez a helyzet az 1. ábrán bemutatott elrendezésben ‐ ezért az állítás második részéhez azt kell igazolnunk, hogy az öt felületi középpont közül nem lehet bármely kettő távolsága nagyobb π2-nél, más szóval, ha adott öt pont az egységnyi sugarú gömb felszínén, akkor a köztük fellépő gömbi távolságok minimuma nem nagyobb, mint π2.
Legyen az öt pont A, B, C, D és E, és rajzoljunk a gömbön három, páronként merőleges síkú főkört, ebből kettőt az A-n keresztül úgy, hogy egyikük a B ponton is áthaladjon. Ezek a főkörök a gömb felszínét 8 egybevágó, egyenlő oldalú gömbháromszögre osztják, amelyek oldalának hossza éppen π2 (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

A megfelelő síkgeometriai tétel bizonyításához hasonlóan igazolható, hogy egy gömbháromszög bármely két pontjának a ‐ gömbi ‐ távolsága legfeljebb akkora, mint a gömbháromszög legnagyobb oldala. Így elegendő megmutatnunk, hogy a gömbfelszín iménti felosztását szolgáltató 8 gömbháromszög között van olyan, amelyik legalább kettőt tartalmaz a megadott 5 pont közül.
Az A pont négy gömbháromszögnek a csúcsa, és ha B ezek egyikének sem pontja, ami föltehető, akkor e négytől különböző kettőnek a határán helyezkedik el. Amennyiben e hat gömbháromszög valamelyike tartalmazza a C, a D vagy az E pontot, akkor az idézett segédtétel szerint készen vagyunk. Ha nem, akkor e 3 pontot a megmaradó két gömbháromszög tartalmazza és így egyikük biztosan legalább 2-t tartalmaz.
Ezzel állításunkat igazoltuk, az 5 felületi középpont között valóban van olyan kettő, amelyek legfeljebb π2 távolságra vannak egymástól a gömbön, vagyis a körök sugara nem lehet 22 nél nagyobb.
 

Megjegyzések. 1. Azt a meglepő tényt igazoltuk, hogy ha egy gömb felületén el tudunk helyezni 5 egyenlő sugarú, nem metsző kört, akkor ezeket alkalmasan elmozgatva még egy hatodik ugyanilyen sugarú kör is elfér a gömbön.
2. A bizonyítás során egy síkgeometriai tétel gömbi változatát használtuk. A gömbfelületen nagyon sok síkgeometriai tétel megfelelője teljesül. Erről bővebben olvashattok pl. Szabó Endre: Sokszögek a gömbön (KÖMAL 1987/4. 147. old.) című cikkében.
3. A gyakorlat megoldóitól kevésbé precíz, a szemléletre jobban támaszkodó megoldásokat is elfogadtunk.