Helyezzünk a síkra egy koordináta-rendszert úgy, hogy az adott parabola egyenlete $y=x^2$ legyen. Ismeretes, hogy ekkor a parabola minden eltoltjának egyenlete felírható $y={\left(x+a\right)}^2+b$ alakban, illetve az előző egyenlet minden valós $a\mathrm{,}b$ esetén az adott parabola egy eltoltjának az egyenlete. A parabola tengelyével ‐ amely koordináta-rendszerünk $y$ tengelye ‐ ezután pontosan azok az egyenesek párhuzamosak, amelyek egyenlete $x=c$ alakú, ahol $c$ tetszőleges valós szám. A bizonyítás során többször fel fogjuk használni az alábbi, ismert állítást :
(*) A parabolának és a tengelyével párhuzamos tetszőleges egyenesnek pontosan egy közös pontja van.
Ezek után rátérünk a három tulajdonság bizonyítására:
$a)$ Valamivel többet bizonyítunk: a sík bármely két különböző pontjához egyértelműen létezik olyan új egyenes, amely a két ponton átmegy.
Legyen a két pont $P\left(x_1;y_1\right)$ és $P_2\left(x_2;y_2\right)$. Ha a rajtuk átmenő (valódi) egyenes párhuzamos az $y$ tengellyel, $x_1=x_2\mathrm{,}$ akkor az $x=x_1$ új egyenes átmegy a két ponton, míg más $x=c$ (c $\ne x_1)$ egyenletű egyenesek nyilván nem. Parabola pedig nem mehet át a két ponton, mert akkor legalább két közös pontja volna az $x=x_1$ egyenessel, ami ellentmond (*)-nak.
Ha $x_1\ne x_2$, akkor $x=c$ egyenletű egyenes nyilván nem mehet át a két ponton. Az $y={\left(x+a\right)}^2+b$ egyenletű parabola pedig pontosan akkor megy át a $P_1$ és $P_2$ pontokon, ha