Kezdőlap


Feladat:	Gy.2312	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bacher Erzsébet , Benczúr P. , Benkő P. , Binder Zsuzsanna , Bobok G. , Bordás F. , Buttyán L. , Csom Gy. , Csűrös M. , Domokos P. , Fajszi B. , Gerlits F. , Károlyi A. , Kincses Z. , László A. , Lois L. , Magyar 575 Zs. , Mezei J. , Novák Zs. , Péter I. , Schermann G. , Simonyi Á. , Speczián A. , Sustik M. , Szabó 137 Gy. , Szamuely T. , Szilágyi 111 B. , Szűcs 704 G. , Tavaszi G. , Tőkei Zs. , Tóth 781 Zsuzsa , Vasy A. , Wiandt T.
Füzet:	1986/november, 381 - 382. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvények, Számhalmazok, Prímszámok száma, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/január: Gy.2312

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban a legszokatlanabb függvény $π (n)$ , próbáljuk ezt kicsit más formában felírni! $π (1) = 0$ , $π (2) = 1$ (hiszen 2-ig az egyetlen prímszám a 2), továbbá $π (3) = π (4) = 2$ , $π (5) = π (6) = 3$ , s általában minden $m \geq 1$ -re

\begin{matrix} p_{m} \leq n < p_{m + 1} esetén π (n) = m . \end{matrix}

(1)

Ez a formula

n = 1

-re is érvényben marad

p_{0} = 1

megállapodással. Az (1)-beli kettős egyenlőtlenséghez

π (n) = m

-et adva kapjuk, hogy

p_{m} \leq n < p_{m + 1}

esetén

\begin{matrix} p_{m} + m \leq n + π (n) < p_{m + 1} + m . \end{matrix}

(2)

Vagyis míg

n

p_{m}

-től (

p_{m + 1} - 1

)-ig fut, addig

n + π (n)

csupa különböző és egyre nagyobb értékeket vesz föl

p_{m} + m

és

p_{m + 1} + m - 1

között (a határokat is beleértve). S mivel ebben a zárt intervallumban pontosan annyi egész szám van, ahány különböző argumentum, az

n + π (n)

függvény, miközben

n

végigfut

p_{m}

-től (

p_{m + 1} - 1

)-ig, minden egész értéket felvesz

p_{m} + m

és

p_{m + 1} + m - 1

között, ezeket a számokat is beleértve. Így az

n + π (n)

függvény értékkészlete, ami éppen a

B

halmaz, a következő részekre bomlik:

\begin{matrix} 1 = p_{0} \leq n < p_{1} & esetén p_{0} + 0 és p_{1} - 1 között; \\ p_{1} \leq n < p_{2} & esetén p_{1} + 1 és p_{2} között; \\ p_{2} \leq n < p_{3} & esetén p_{2} + 2 és p_{3} + 1 között; \\ ⋮ \\ p_{m - 1} \leq n < p_{m} & esetén p_{m - 1} + (m - 1) és p_{m} + (m - 2) között; \\ p_{m} \leq n < p_{m + 1} & esetén p_{m} + m \end{matrix}