Kezdőlap


Feladat:	Gy.2309	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Argay Márta , Bánhegyi P. , Binder Zsuzsanna , Bíró 100 A. , Bobok G. , Buga Márta , Csahók Z. , Csapodi M. , Csordás Z. M. , Domokos P. , Élő R. , Hadnagy Éva , Illés T. , Jalsovszky P. , Jankó A. , Jinda B. , Kálmán E. , Károlyi A. , Keleti T. , Mátyás Ágnes , Pásztor 625 G. , Révész Anita , Rubovszky G. , Sustik M. , Tavaszi G. , Vindics Vera , Wiandt T. , Zelena E.
Füzet:	1986/szeptember, 263 - 264. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt háromszög, Geometriai egyenlőtlenségek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Poliéderek szimmetriái, Térelemek és részeik, Szabályos tetraéder, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/december: Gy.2309

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A P$ és $A Q$ egyeneseknek a $B C D$ síkkal való metszéspontjai $R$ és $S$ ! Ekkor az $R S$ egyenes két pontban metszi a $B C D$ háromszög oldalait, legyenek ezek $T$ és $V$ (1. ábra). A szabályos háromszög szimmetriája miatt feltehetjük, hogy a $T$ pont a $B C D$ háromszög $B C$ élén, míg a $V$ pont a $C D$ élén van (a két pont közül legfeljebb az egyik egybeeshet a háromszög valamelyik csúcsával).

1. ábra

Megmutatjuk, hogy

B V \geq T V

. Ez nyilvánvaló, ha a

B

és a

T

pontok egybeesnek. Ha különbözők, akkor tekintsük a

B C D

háromszögbe írt

B V T

háromszöget! (2. ábra) Ebben

\begin{matrix} V B T ∢ \leq D B T ∢ = 60^{\circ}, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} B T V ∢ > B C V ∢ = 60^{\circ}, \end{matrix}

tehát

B T V ∢ > V B T ∢

. Ez pedig éppen azt jelenti, hogy

B T > T V

, mert bármely háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van.

2. ábra

Tekintsük most az

A B

szakasz felező merőleges síkját! Mivel

A C = B C

és

A D = B D

, ezért a

C

és

D

pontok benne vannak ebben a síkban, tehát a

C D

szakasz minden pontja, így a

V

pont is ebben a síkban van. Ez azt jelenti, hogy

B V = A V

, és így

A V \geq T V

. Ez az eredmény a megoldás kulcsa.
Ugyanígy belátható, hogy

A T \geq T V

is igaz. Az

A V T

háromszögben így

T V

a legkisebb oldal, és ezért

T A V ∢ \leq 60^{\circ}

.
A

T A V

szögtartomány tartalmazza az

R A S

szögtartományt és a két szögtartománynak

A

-ban közös csúcsa van, tehát

R A S ∢ < T A V ∢

. Vagyis

\begin{matrix} P A Q ∢ = R A S ∢ < T A V ∢ \leq 60^{\circ} . \end{matrix}

Ez éppen a bizonyítandó állítás.