Kezdőlap


Feladat:	Gy.2306	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kégl Balázs
Füzet:	1986/november, 380 - 381. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Háromszögek nevezetes tételei, Középvonal, Indirekt bizonyítási mód, Nevezetes egyenlőtlenségek, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/december: Gy.2306

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek a háromszög oldalai $a$ , $b$ , $c$ , az oldalak felezőpontjai pedig rendre $E$ , $F$ , $G$ !

Ekkor

E F = \frac{c}{2}

. Mivel az

E

középpontú

\frac{a}{4}

, és az

F

középpontú

\frac{b}{4}

sugarú köröknek van közös pontja, ezért a két középpont távolsága nem nagyobb, mint a két sugár összege, azaz

\begin{matrix} \frac{a}{4} + \frac{b}{4} \geq \frac{c}{2} . \end{matrix}

(1)

Ugyanígy kapjuk, hogy:

\begin{matrix} \frac{b}{4} + \frac{c}{4} \geq \frac{a}{2}, & (2) \\ \frac{c}{4} + \frac{a}{4} \geq \frac{b}{2} . & (3) \end{matrix}

A (2) és (3) egyenlőtlenségekben

c

helyére írjuk be az (1) miatt a nála nem kisebb

(\frac{a}{2} + \frac{b}{2})

-t! Így kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{b}{4} + (\frac{a}{8} + \frac{b}{8}) \geq \frac{a}{2}, azaz: b \geq a, \end{matrix}

(4)

illetve:

\begin{matrix} (\frac{a}{8} + \frac{b}{8}) + \frac{a}{4} \geq \frac{b}{2}, azaz: a \geq b . \end{matrix}

(5)

(4) és (5) csak akkor teljesül egyszerre, ha

a = b

. Ugyanígy kapjuk, hogy

b = c'

, tehát a háromszög csak szabályos lehet. Szabályos háromszög esetén a körök valóban érintik egymást.
Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

II. megoldás: Megmutatjuk, hogy a háromszög oldalai közt nem lehetnek különböző hosszúságúak. Használjuk az előző megoldás jelöléseit!
Tegyük fel, hogy a háromszögnek vannak különböző oldalai! Legyen

a

az (egyik) legkisebb,

c

az (egyik) legnagyobb oldal! Ekkor

a < c

és

b \leq c

, tehát:

\begin{matrix} \frac{c}{2} > \frac{a}{4} + \frac{b}{4} . \end{matrix}

Mivel

E F = \frac{c}{2}

, ez azt jelenti, hogy az

E

középpontú

\frac{a}{4}

és az

F

középpontú

\frac{b}{4}

sugarú köröknek nincs közös pontja. Ez ellentmondás, a háromszög tehát szabályos.