Feladat: Gy.2290 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benczúr Péter 
Füzet: 1986/március, 117 - 118. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Kombinatorikai leszámolási problémák, Hossz, kerület, Négyszögek geometriája, Egyéb sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/október: Gy.2290

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy egy tízszög átlóinak száma 10⋅7/2=35. Jelöljük az átlók hosszának összegét A-val, a tízszög kerületét K-val!

 
 


A háromszög-egyenlőtlenségből következik, hogy egy konvex négyszög átlói hosszának összege nagyobb, mint két szemben fekvő oldala hosszának összege. Tekintsünk a tízszögben két nem szomszédos oldalt! Ezek végpontjai a 10-szög konvex volta miatt egy konvex négyszöget határoznak meg. A fentiek szerint tehát a 10-szög két kiszemelt oldala hosszának összege kisebb, mint a végpontjaikat összekötő, metsző átlók hosszának összege. Az ábra jelöléseit használva
a+b<x+y.(1)

Vegyük számba a nem szomszédos oldalpárokat! A tízszög minden oldalához 7, vele nem szomszédosat találhatunk. Minden pár két oldalból áll, így minden párt kétszer számoltunk, ezért 10⋅7/2=35. különböző oldalpár van. Írjuk fel minden oldalpár esetén az (1)-nek megfelelő egyenlőtlenségeket, majd adjuk ezeket össze! Ekkor a bal oldali összegben a tízszög minden oldalhossza hétszer szerepel, mert minden oldal hét oldalpárban fordul elő. A jobb oldali összegben minden átló kétszer szerepel, mert minden átlót két oldalpárnál vettünk számításba. (Az ábrán látható AE átlót pl. az AB és EF, valamint az AJ és ED oldalpárnál.) Tehát
7K<2AazazK10<A35.
Ez pedig éppen a bizonyítandó állítás.
 
 

Megjegyzés. Az állítás tetszőleges, legalább négyoldalú konvex sokszögben igaz, a fenti bizonyítás általában is elismételhető. Konkáv sokszögre az állítás általában nem igaz. n=4-re például az ABC szabályos háromszög csúcsait és S súlypontját tekintve, az ASBC konkáv négyszögben éppen egyenlő a két szóban forgó mennyiség, ha pedig S' az SC szakasz belső pontja, akkor az AS'BC négyszögben az átlók számtani közepe már kisebb az oldalak számtani közepénél.