Kezdőlap


Feladat:	Gy.2285	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/február, 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Beírt kör, Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/szeptember: Gy.2285

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a szögszárak metszéspontját $C$ -vel, a $k_{1}$ , $k_{2}$ körök középpontját $O_{1}$ , $O_{2}$ -vel, sugarát $r$ -rel és $R$ -rel $(r < R)$ .
Messe a közös belső érintő a szögszárakat $P$ -ben és $Q$ -ban, és érintse $k_{1}$ -et $F_{1}$ -ben, $k_{2}$ -t pedig $F_{2}$ -ben. A $k_{1}$ és a $k_{2}$ érintési pontja a $C P$ félegyenesen legyen $E_{1}$ és $E_{2}$ . A $C P Q$ háromszögnek $k_{1}$ a beírt, $k_{2}$ pedig a hozzáírt köre. Ismeretes, hogy a háromszög megfelelő csúcsaiból a beírt és a hozzáírt körhöz vont alkalmas érintőszakaszok egyenlőségéből következik, hogy az egyes oldalakon a beírt és a hozzáírt körök érintési pontja az oldal felezőpontjára szimmetrikusan helyezkedik el. Ennek bizonyítását nem részletezzük, az ábra jelölései mellett mindenesetre $P F_{1} = Q F_{2}$ . Ezt felhasználva $P F_{1} = P E_{1}$ és $P F_{2} = P E_{2}$ miatt $E_{1} E_{2} = E_{1} P + P E_{2} = P F_{1} + P F_{2} = F_{2} Q + P F_{2} = P Q$ adódik, tehát a közös belső érintőnek a szög szárai közé eső szakasza egyenlő az érintési pontok távolságával a közös külső érintőn.

Jelöljük

O_{1}

-nek az

O_{2} E_{2}

sugárra való merőleges vetületét

M

-mel. Az

O_{1} O_{2} M

derékszögű háromszögben

O_{2} M = R - r

O_{1} M = E_{1} E_{2}

. Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} E_{1} E_{2}^{2} = O_{1} O_{2}^{2} - {(R - r)}^{2} . \end{matrix}

(1)

Mivel a körök nem érintik egymást,

O_{1} O_{2} > R + r

és (1) szerint

E_{1} E_{2} = P Q

miatt

\begin{matrix} P Q > \sqrt[]{{(R + r)}^{2} - {(R - r)}^{2}} = 2 \sqrt[]{R r}, \end{matrix}

(2)

és ezt kellett bizonyítanunk.
Az is látszik, hogy amennyiben a két kör érinti egymást, akkor

O_{1} O_{2} = R + r

miatt (2)-ben egyenlőség áll.