Feladat: Gy.2285 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1986/február, 75. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Beírt kör, Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/szeptember: Gy.2285

Adott egy szög és két kör, amelyek érintik a szög szárait, de egymást nem érintik. Bizonyítsuk be, hogy a két kör közös belső érintőjének a szög szárai közé eső szakasza nagyobb a két kör sugara mértani közepének kétszeresénél.

Jelöljük a szögszárak metszéspontját C-vel, a k1, k2 körök középpontját O1, O2-vel, sugarát r-rel és R-rel (r<R).
Messe a közös belső érintő a szögszárakat P-ben és Q-ban és érintse k1-et F1-ben, k2-t pedig F2-ben. A k1 és a k2 érintési pontja a CP félegyenesen legyen E1 és E2. A CPQ háromszögnek k1 a beírt, k2 pedig a hozzáírt köre. Ismeretes, hogy a háromszög megfelelő csúcsaiból a beírt és a hozzáírt körhöz vont alkalmas érintőszakaszok egyenlőségéből következik, hogy az egyes oldalakon a beírt és a hozzáírt körök érintési pontja az oldal felezőpontjára szimmetrikusan helyezkedik el. Ennek bizonyítását nem részletezzük, az ábra jelölései mellett mindenesetre PF1=QF2. Ezt felhasználva PF1=PE1 és PF2=PE2 miatt E1E2=E1P+PE2=PF1+PF2=F2Q+PF2=PQ adódik, tehát a közös belső érintőnek a szög szárai közé eső szakasza egyenlő az érintési pontok távolságával a közös külső érintőn.
 
 

Jelöljük O1-nek az O2E2 sugárra való merőleges vetületét M-mel. Az O1O2M derékszögű háromszögben O2M=R-r, O1M=E1E2. Pitagorasz tétele szerint
E1E22=O1O22-(R-r)2.(1)

Mivel a körök nem érintik egymást, O1O2>R+r és (1) szerint E1E2=PQ miatt
PQ>(R+r)2-(R-r)2=2Rr,(2)
és ezt kellett bizonyítanunk.
Az is látszik, hogy amennyiben a két kör érinti egymást, akkor O1O2=R+r miatt (2)-ben egyenlőség áll.