Kezdőlap


Feladat:	Gy.2284	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kühstaler György
Füzet:	1986/február, 74 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Terület, felszín, Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/szeptember: Gy.2284

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kis háromszögeknek az $A B = c$ -vel párhuzamos oldalát rendre $c_{1}$ -gyel, $c_{2}$ -vel, illetve $c_{3}$ -mal. A paralelogrammák szemközti oldalai egyenlők, így $c = c_{1} + c_{2} + c_{3}$ . A párhuzamosságok miatt a kis háromszögek hasonlók az $A B C$ háromszöghöz, a hosszúságméreteik aránya a párhuzamos oldalak arányából $\frac{c_{1}}{c}$ , $\frac{c_{2}}{c}$ , illetve $\frac{c_{3}}{c}$ .

Ismeretes, hogy hasonló síkidomok területének aránya a hosszúságméretek arányának a négyzete. Ha most az

A B C

háromszög területét

T

-vel, a megfelelő kis háromszögek területét pedig

T_{1}

-gyel,

T_{2}

-vel, illetve

T_{3}

-mal jelöljük, akkor a fentiek szerint

\begin{matrix} \frac{T_{1}}{T} = \frac{c_{1}^{2}}{c^{2}}, \frac{T_{2}}{T} = \frac{c_{2}^{2}}{c^{2}}, \frac{T_{3}}{T} = \frac{c_{3}^{2}}{c^{2}} . \end{matrix}

Vonjunk négyzetgyököt a három egyenlőség mindkét oldalából, majd adjuk össze az így kapott összefüggéseket. Kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{T_{1}} + \sqrt[]{T_{2}} + \sqrt[]{T_{3}}}{\sqrt[]{T}} = \frac{c_{1} + c_{2} + c_{3}}{c} = 1, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} T = {(\sqrt[]{T_{1}} + \sqrt[]{T_{2}} + \sqrt[]{T_{3}})}^{2} . \end{matrix}

A B C

háromszög területe így

\begin{matrix} T = {(2 + 3 + 7)}^{2} = 144 területegység . \end{matrix}