Feladat: Gy.2284 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kühstaler György 
Füzet: 1986/február, 74 - 75. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Terület, felszín, Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/szeptember: Gy.2284

Az ABC háromszög belsejében úgy választottuk meg a P pontot, hogy a P ponton az oldalakkal párhuzamosan húzott egyenesek 3 háromszöget és 3 paralelogrammát határoznak meg, és a keletkezett háromszögek területe 4, 9 és 49 területegység. Mekkora az eredeti háromszög területe?

Jelöljük a kis háromszögeknek az AB=c-vel párhuzamos oldalát rendre c1-gyel, c2-vel, illetve c3-mal. A paralelogrammák szemközti oldalai egyenlők, így c=c1+c2+c3. A párhuzamosságok miatt a kis háromszögek hasonlók az ABC háromszöghöz, a hosszúságméreteik aránya a párhuzamos oldalak arányából c1c, c2c, illetve c3c.
 
 

Ismeretes, hogy hasonló síkidomok területének aránya a hosszúságméretek arányának a négyzete. Ha most az ABC háromszög területét T-vel, a megfelelő kis háromszögek területét pedig T1-gyel, T2-vel, illetve T3-mal jelöljük, akkor a fentiek szerint
T1T=c12c2,T2T=c22c2,T3T=c32c2.

Vonjunk négyzetgyököt a három egyenlőség mindkét oldalából, majd adjuk össze az így kapott összefüggéseket. Kapjuk, hogy
T1+T2+T3T=c1+c2+c3c=1,
ahonnan
T=(T1+T2+T3)2.

Az ABC háromszög területe így
T=(2+3+7)2=144 területegység.

Kühstaler György (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)

dolgozata alapján