Feladat: Gy.2266 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1986/január, 18 - 19. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hozzáírt körök, Síkgeomertiai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Ellipszis, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/április: Gy.2266

Egy ellipszis fókuszai F1, F2, egy tetszőleges pontja P. Tekintsük azt a kört, amely érinti a PF1F2 háromszög PF1 oldalát és az F2F1, F2P oldalak meghosszabbításait. Mutassuk meg, hogy ez a kör átmegy az ellipszis nagytengelyének F1-hez közelebbi végpontján.

Legyenek az érintési pontok az F1F2-n A, PF2-n B, PF1-en E. Elegendő igazolnunk, hogy az A pont az ellipszis pontja, hiszen az F1A félegyenesen az ellipszis nagytengelyének csak az F1-hez közelebbi végpontja van rajta.
 
 

Írjuk fel az A pont távolságát a fókuszoktól; felhasználva, hogy a körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő,
AF1=F1E,AF2=F2B=BP+PF2=EP+PF2.


Innen AF1+AF2=EF1+EP+PF2=PF1+PF2, ami pontosan azt jelenti, hogy az A pont rajta van az F1,F2 és P pontokkal meghatározott ellipszisen.