Kezdőlap


Feladat:	Gy.2262	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/január, 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/április: Gy.2262

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $p$ és $q$ prímek, akkor $p^{q} + q^{p} > 2$ , így ha ez az összeg maga is prím, akkor páratlan. Az összeg egyik tagja ‐ mondjuk $p^{q}$ ‐ így páros, vagyis $p = 2$ , a másik tag pedig páratlan, vagyis $q$ is páratlan.
Eszerint azokat a páratlan $q$ prímszámokat kell megtalálnunk, amelyekre $2^{q} + q^{2}$ prímszám. Tekintsük ennek az összegnek a következő felbontását :

\begin{matrix} 2^{q} + q^{2} = (2^{q} + 1) + (q^{2} - 1) . \end{matrix}

q

páratlan szám, ezért

2^{q} + 1

osztható

2 + 1 = 3

-mal. Ha most

q

nem osztható

3

-mal, akkor a négyzete

1

maradékot ad

3

-mal osztva, és így

q^{2} - 1

szintén osztható

3

-mal.
Azt kaptuk, hogy ha

q

páratlan,

3

-mal nem osztható pozitív egész, akkor

2^{q} + q^{2}

osztható

3

-mal. Tehát prím csak úgy lehet, ha éppen

3

, de akkor

2^{q} + q^{2} = 3

alapján

q = 1

volna, ami nem prímszám.
Így

q

osztható

3

-mal, vagyis csak

q = 3

lehetséges. Behelyettesítve

2^{3} + 3^{2} = 17

, valóban prímszám.
A feladat (egyértelmű) megoldása így

p = 2

és

q = 3