Feladat: Gy.2262 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1986/január, 16. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/április: Gy.2262

Határozzuk meg azokat a p és q prímszámokat, amelyekre pq+qp is prímszám.

Ha p és q prímek, akkor pq+qp>2, így ha ez az összeg maga is prím, akkor páratlan. Az összeg egyik tagja ‐ mondjuk pq ‐ így páros, vagyis p=2, a másik tag pedig páratlan, vagyis q is páratlan.
Eszerint azokat a páratlan q prímszámokat kell megtalálnunk, amelyekre 2q+q2 prímszám. Tekintsük ennek az összegnek a következő felbontását :
2q+q2=(2q+1)+(q2-1).

A q páratlan szám, ezért 2q+1 osztható 2+1=3-mal. Ha most q nem osztható 3-mal, akkor a négyzete 1 maradékot ad 3-mal osztva, és így q2-1 szintén osztható 3-mal.
Azt kaptuk, hogy ha q páratlan, 3-mal nem osztható pozitív egész, akkor 2q+q2 osztható 3-mal. Tehát prím csak úgy lehet, ha éppen 3, de akkor 2q+q2=3 alapján q=1 volna, ami nem prímszám.
Így q osztható 3-mal, vagyis csak q=3 lehetséges. Behelyettesítve 23+32=17, valóban prímszám.
A feladat (egyértelmű) megoldása így p=2 és q=3.