Kezdőlap


Feladat:	Gy.2261	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Füzet:	1986/január, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Százalékszámítás, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/március: Gy.2261

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje az ötszöget $A B C D E$ , beírt körének középpontját $O$ , sugarát $ϱ$ , az $A B$ oldal felezőpontját $F$ .

Mivel az ötszög szabályos,

B O F ∢ = F O A ∢ = 36^{\circ}

. Feladatunk területarányok meghatározása, ezért választhatjuk az ötszög oldalát

2

egység hosszúnak, ekkor az

A B

fölé írt kör sugara

r = 1

, és

ϱ = ctg36^{\circ}

, így a nagy kör sugara

R = ϱ + r = 1 + ctg36^{\circ}

.
A

C B

és

B A

szomszédos ötszögoldalak fölé írt köröknek van

B

-től különböző metszéspontja, jelöljük

P

-vel, ez az ötszög belsejében van.
A befedett rész

T

területét tehát megkaphatjuk, ha a körök együttes területéből kivonjuk a kétszeresen lefedett részek területét. Ezek a részek kis körszeletek, összesen

10

, mindegyikük egy körcikk és egy egyenlő szárú háromszög területének különbsége.
Könnyen meghatározhatjuk a körcikk középponti szögét, pl. a

P F B

háromszögben

O B F ∢ = 54^{\circ}

, s mivel

F B = F P

P F B ∢ = 72^{\circ}

, azaz a körcikk területe a kis körterületének

1 / 5

-e. A

P F B

egyenlő szárú háromszög területe pedig az ismert

t = \frac{a b sin γ}{2}

képlet alapján

\frac{r^{2} sin 72^{\circ}}{2}

. Így

T = 5 \cdot T_{kiskör} - 10 (T_{körcikk} - T_{háromszög}) = 3 T_{kiskör} + 10 T_{háromszög} = 3 π + 5 sin 72^{\circ}

.
Végül az

5

kis kör által fedett területek és a nagy kör területének aránya

\begin{matrix} \frac{3 π + 5 sin 72^{\circ}}{{(1 + ctg36^{\circ})}^{2} π} \approx 0, 8. \end{matrix}