|
Feladat: |
Gy.2261 |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: - |
Füzet: |
1986/január,
15 - 16. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Algebrai átalakítások, Százalékszámítás, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1985/március: Gy.2261 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelölje az ötszöget , beírt körének középpontját , sugarát , az oldal felezőpontját .
Mivel az ötszög szabályos, . Feladatunk területarányok meghatározása, ezért választhatjuk az ötszög oldalát egység hosszúnak, ekkor az fölé írt kör sugara , és , így a nagy kör sugara R=ϱ+r=1+ctg 36∘. A CB és BA szomszédos ötszögoldalak fölé írt köröknek van B-től különböző metszéspontja, jelöljük P-vel, ez az ötszög belsejében van. A befedett rész T területét tehát megkaphatjuk, ha a körök együttes területéből kivonjuk a kétszeresen lefedett részek területét. Ezek a részek kis körszeletek, összesen 10, mindegyikük egy körcikk és egy egyenlő szárú háromszög területének különbsége. Könnyen meghatározhatjuk a körcikk középponti szögét, pl. a PFB háromszögben OBF∢=54∘, s mivel FB=FP, PFB∢=72∘, azaz a körcikk területe a kis körterületének 1/5-e. A PFB egyenlő szárú háromszög területe pedig az ismert t=absinγ2 képlet alapján r2sin72∘2. Így T=5⋅Tkiskör-10(Tkörcikk-Tháromszög)=3Tkiskör+10Tháromszög=3π+5sin72∘. Végül az 5 kis kör által fedett területek és a nagy kör területének aránya | 3π+5sin72∘(1+ctg 36∘)2π≈0,8. |
|
|