Feladat: Gy.2261 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: -
Füzet: 1986/január, 15 - 16. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Százalékszámítás, Terület, felszín, Síkgeomertiai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: Gy.2261

Szabályos ötszög oldalai mint átmérők fölé köröket írunk. Tekintsük azt a kört, amely magába zárja ezt az 5 kört és érinti azokat. A nagy kör területének hányadrészét fedi le az 5 kis kör?

Jelölje az ötszöget ABCDE, beírt körének középpontját O, sugarát ϱ, az AB oldal felezőpontját F.
 
 

Mivel az ötszög szabályos, BOF=FOA=36. Feladatunk területarányok meghatározása, ezért választhatjuk az ötszög oldalát 2 egység hosszúnak, ekkor az AB fölé írt kör sugara r=1, és ϱ=ctg 36, így a nagy kör sugara R=ϱ+r=1+ctg 36.
A CB és BA szomszédos ötszögoldalak fölé írt köröknek van B-től különböző metszéspontja, jelöljük P-vel, ez az ötszög belsejében van.
A befedett rész T területét tehát megkaphatjuk, ha a körök együttes területéből kivonjuk a kétszeresen lefedett részek területét. Ezek a részek kis körszeletek, összesen 10, mindegyikük egy körcikk és egy egyenlő szárú háromszög területének különbsége.
Könnyen meghatározhatjuk a körcikk középponti szögét, pl. a PFB háromszögben OBF=54, s mivel FB=FP, PFB=72, azaz a körcikk területe a kis körterületének 1/5-e. A PFB egyenlő szárú háromszög területe pedig az ismert t=absinγ2 képlet alapján r2sin722. Így T=5Tkiskör-10(Tkörcikk-Tháromszög)=3Tkiskör+10Tháromszög=3π+5sin72.
Végül az 5 kis kör által fedett területek és a nagy kör területének aránya
3π+5sin72(1+ctg 36)2π0,8.