Feladat: Gy.2257 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kós Géza 
Füzet: 1986/január, 14. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kombinatorikus geometria síkban, Kombinációk, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/március: Gy.2257

Adott egy szabályos 2n+1 oldalú sokszög. Hány olyan háromszög van, amelynek csúcsai a sokszög csúcsai közül valók és a háromszög tartalmazza a sokszög középpontját?

A megoldás során ,,háromszög''-nek azokat a háromszögeket nevezzük, amelyek csúcsai az adott sokszög csúcsai közül valók.
Az összes háromszögek száma éppen annyi, ahány különböző módon a 2n+1 csúcs közül hármat ki tudunk választani, vagyis (2n+13)=(2n+1)2n(2n-1)6. Ebből levonjuk azoknak a háromszögeknek a számát, amelyek nem tartalmazzák a középpontot. Nézzünk egy ilyen háromszöget és betűzzük meg a csúcsait A, B, C-vel úgy, hogy a betűzés pozitív körüljárási irányú legyen, a leghosszabb oldal pedig AC. Ezt nyilván egyértelműen tudjuk megtenni. Vizsgáljuk meg, hányféleképpen választható ki ilyen ABC háromszög! Az A csúcsot (2n+1) helyre tehetjük. A B és C csúcsok az A csúcsot a sokszög középpontjával összekötő egyenes jobb padjára eshetnek csak, ezeket az ott található n csúcs közül (n2) -féleképpen választhatjuk ki. A középpontot nem tartalmazó háromszögek száma tehát (2n+1)(n2).
A feladat feltételének ezek szerint (2n+13)-(2n+1)(n2)=n(n+1)(2n+1)6 háromszög felel meg.
 

 Kós Géza (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)