Kezdőlap


Feladat:	Gy.2253	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Both Emőke , Kiss Petrik Katalin
Füzet:	1985/november, 393 - 394. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/február: Gy.2253

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A$ csúcsból bocsássunk merőlegest a $B B'$ szögfelezőre, s jelöljük a $B C$ oldalegyenessel való metszéspontját $M$ -mel, és hasonlóan, a $B$ -ből az $A A'$ szögfelezőre bocsátott merőlegesnek az $A C$ oldalegyenessel való metszéspontját jelöljük $N$ -nel. ( $M$ és $N$ nyilván a háromszögön kívülre esik.)

A szögszárak merőlegessége miatt

\begin{matrix} N B C ∢ = A' A C ∢ = \frac{α}{2}, \\ M A C ∢ = B' B C ∢ = \frac{β}{2} . \end{matrix}

N B C

és az

A' A C

háromszögek hasonlóságából

B N C ∢ = A A' C ∢

adódik, ebből pedig következik, hogy a

B N B'

és az

A M A'

háromszögek is hasonlók.
Megfelelő oldalaikra tehát

\begin{matrix} A A' : B N = A M : B B' és innen \\ A A' \cdot B B' = A M \cdot B N . & (1) \end{matrix}

Továbbá vegyük észre, hogy

M B A

háromszögben

B O

egyrészt szögfelező, másrészt merőleges a szemközti oldalra. Így

B O

A M

szakasz felező merőlegese, s ezért minden pontja egyenlő távol van a szakasz két végpontjától, vagyis

O M = O A

. Az

M O A

háromszög tehát egyenlő szárú, s mivel

\frac{α}{2} + \frac{β}{2} = 45^{\circ}

, az

M O A ∢

derékszög, s így

M A = \sqrt[]{2} A O

. Ugyanez mondható el az

N O B

háromszögről is, itt

N B = \sqrt[]{2} B O

. Ezeket (1)-behelyettesítve

\begin{matrix} A A' \cdot B B' = A M \cdot B N = \sqrt[]{2} A O \cdot \sqrt[]{2} B O = 2 A O \cdot B O, \end{matrix}

és ezt kellett bizonyítanunk.