Feladat: Gy.2253 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Both Emőke ,  Kiss Petrik Katalin 
Füzet: 1985/november, 393 - 394. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/február: Gy.2253

Az ABC derékszögű háromszögben az A-nál és B-nél fekvő hegyesszögek felező egyenesei egymást O-ban, a CB befogót A'-ben, a CA befogót pedig B'-ben metszik. Bizonyítsuk be, hogy AA'BB'=2AOBO.

Az A csúcsból bocsássunk merőlegest a BB' szögfelezőre, s jelöljük a BC oldalegyenessel való metszéspontját M-mel, és hasonlóan, a B-ből az AA' szögfelezőre bocsátott merőlegesnek az AC oldalegyenessel való metszéspontját jelöljük N-nel. (M és N nyilván a háromszögön kívülre esik.)
 
 

A szögszárak merőlegessége miatt
NBC=A'AC=α2,MAC=B'BC=β2.


Az NBC és az A'AC háromszögek hasonlóságából BNC=AA'C adódik, ebből pedig következik, hogy a BNB' és az AMA' háromszögek is hasonlók.
Megfelelő oldalaikra tehát
AA':BN=AM:BB'és innenAA'BB'=AMBN.(1)



Továbbá vegyük észre, hogy MBA háromszögben BO egyrészt szögfelező, másrészt merőleges a szemközti oldalra. Így BO az AM szakasz felező merőlegese, s ezért minden pontja egyenlő távol van a szakasz két végpontjától, vagyis OM=OA. Az MOA háromszög tehát egyenlő szárú, s mivel α2+β2=45, az MOA derékszög, s így MA=2AO. Ugyanez mondható el az NOB háromszögről is, itt NB=2BO. Ezeket (1)-behelyettesítve
AA'BB'=AMBN=2AO2BO=2AOBO,
és ezt kellett bizonyítanunk.
 

 Kiss Petrik Katalin és Both Emőke
 (a komarnoi Magyar Tannyelvű Gimn. tanulói)
 dolgozata alapján