Kezdőlap


Feladat:	Gy.2247	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Vajda László
Füzet:	1985/november, 390 - 391. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szimmetrikus egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/február: Gy.2247

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindkét oldalt a nevezők szorzatával bővítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} (1 + y^{2}) (1 + x y) + (1 + x^{2}) (1 + x y) = 2 (1 + x^{2}) (1 + y^{2}), \end{matrix}

amiből a műveletek elvégzése és rendezés után

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 2 x^{2} y^{2} - x^{3} y - x y^{3} - 2 x y = 0. \end{matrix}

A bal oldal szorzattá alakítható:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 2 x^{2} y^{2} - x^{3} y - x y^{3} - 2 x y = {(x - y)}^{2} - x y {(x - y)}^{2} = {(x - y)}^{2} (1 - x y) . \end{matrix}

Egy szorzat akkor és csak akkor

0

, ha valamelyik tényezője

0

. Az első tényező a feltétel szerint nem lehet

0

, így

1 - x y = 0

.
Azt kaptuk tehát, hogy a feltételek teljesülése esetén

x y = 1

. Ekkor a szereplő törtek nevezője nem nulla. A feladatot megoldottuk.