Feladat: Gy.2247 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Vajda László 
Füzet: 1985/november, 390 - 391. oldal  PDF file
Témakör(ök): Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szimmetrikus egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/február: Gy.2247

Határozzuk meg az xy szorzat értékét, ha x és y olyan egymástól különböző számok, amelyekre
11+x2+11+y2=21+xy.(1)


Mindkét oldalt a nevezők szorzatával bővítve kapjuk, hogy
(1+y2)(1+xy)+(1+x2)(1+xy)=2(1+x2)(1+y2),
amiből a műveletek elvégzése és rendezése után
x2+y2+2x2y2-x3y-xy3-2xy=0.
A bal oldal szorzattá alakítható:
x2+y2+2x2y2-x3y-xy3-2xy=(x-y)2-xy(x-y)2=(x-y)2(1-xy).

Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Az első tényező a feltétel szerint nem lehet 0, így 1-xy=0.
Azt kaptuk tehát, hogy a feltételek teljesülése esetén xy=1. Ekkor a szereplő törtek nevezője nem nulla. A feladatot megoldottuk.
 

 Vajda László (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., I. o. t.)