Feladat: Gy.2246 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1985/október, 311. oldal  PDF file
Témakör(ök): Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/február: Gy.2246

Az a, b, c, d, e, f számjegyekből a tízes számrendszerben felírt abcdef és fdebca számok különbsége osztható 271-gyel. Bizonyítsuk be, hogy b=d és c=e.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a két számot A, illetve B. Ekkor

A=105a+104b+103c+102d+10e+f,
és hasonlóan
B=105f+104d+103e+102b+10c+a.
A két szám különbségére így
A-B=(105-1)(a-f)+(104-102)(b-d)+(103-10)(c-e)
adódik. A fenti összeg első tagjában a 105-1 tényező osztható 271-gyel: 105-1=99999=271369. Ez azt jelenti, hogy A-B és
(104-102)(b-d)+(103-10)(c-e)=990[10(b-d)+(c-e)]
ugyanazt a maradékot adják 271-gyel osztva, esetünkben tehát 990[10(b-d)+(c-e)] osztható 271-gyel.
Miután 271-nek és 990-nek nincs 1-nél nagyobb közös osztója, így 271 szükségképen a fenti szorzat második tényezőjének, 10(b-d)+(c-e)-nek osztója. Számjegyekről lévén szó, |b-d|9 és |c-e|9, vagyis |10(b-d)+(c-e)|99, így ez a szám csak akkor lehet a 271 többszöröse, ha 0. Ha viszont 10(b-d)+(c-e)=0, akkor ugyancsak |c-e|9 miatt b-d is csak 0 lehet, és így c-e is 0. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Az is látszik, hogy az állítás megfordítása is igaz, nevezetesen ha b=d és c=e, akkor A-B osztható 271-gyel.