Feladat: Gy.2242 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke T. ,  Fleiner T. ,  Gáll I. ,  Gyuris V. ,  Hantosi Zs. ,  Illés L. ,  Illés T. ,  Kárpáti M. ,  Kégl B. ,  Kiss 159 Z. ,  Kovács 137 A. ,  László A. ,  Lipták 182 L. ,  Majoros L. ,  Markotics B. ,  Mozolai G. ,  Nusser Z. ,  Őrsi A. ,  Pál G. ,  Papp L. ,  Szira P. ,  Tavaszi Gábor ,  Tóth 324 T. ,  Wiandt T. 
Füzet: 1985/november, 387 - 388. oldal  PDF file
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/január: Gy.2242

Adott egy szakasz, továbbá egy kör kerületén egy A pont. Az A pont vetülete a kör P pontjában húzott érintőjére A'. Szerkesszük meg a P pontot úgy, hogy PA'+A'A az adott szakasszal legyen egyenlő.

Képzeljük el, hogy a szerkesztést elvégeztük. Mérjük fel a PA' egyenesre A'-ből kiindulva, P-vel ellenkező irányba az AA' távolságot.
 
 

A kapott C pontra PC=d az adott távolság, és ACA'=45, azaz ACA' egyenlő szárú derékszögű háromszög. A szerkesztés innen már könnyen leolvasható. A kör egy tetszőleges Q pontjához szerkesszünk e érintőt, mérjük fel rá Q-ból kiindulva az adott d távolságot. Ennek Q-tól különböző R végpontjára mérjük fel a 45-os szöget, a szög szára kimetsz a körből egy M pontot. Ezután már csak el kell forgatnunk az MR egyenest addig, amíg M az A pontba kerül de úgy, hogy RQ egyenes érintse a kört, így Q pont a körön mozogva P-be kerül.
 
 

 
 

Az R-ben e-re szerkesztett 45-os egyenes vagy érinti a kört, vagy két pontban metszi, vagy nem metszi. Ha két pontban metszi, akkor ezek bármelyike megfelel M szerepére, feltéve, hogy az OQ egyenes által határolt azon félsíkba esik, amelyik R-t tartalmazza. Így 1 vagy 2 lényegesen különböző megoldást kapunk. További megoldást ad P-nek AO-ra vonatkozó tükörképe. Az összes megoldások száma tehát:
2, ha d<2r, ill. d=r+2r;
3, ha d=2r, ezek közül egyik P önmagának tükörképe;
4, ha 2r<d<r+2r;
és nincs megoldás, ha d>r+2r.
 

 Tavaszi Gábor (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., I. o. t.)