Feladat: Gy.2241 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Tornyi Lajos 
Füzet: 1986/február, 71 - 72. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számkörök, Számelrendezések, Skatulyaelv, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/január: Gy.2241

Kitölthető-e egy n×n-es táblázat a +1 és -1 értékekkel úgy, hogy az egyes sorokban, illetve oszlopokban álló számok összege mind különböző legyen, ha
a) n=5,
b) n=6?

A feladatot kétféleképpen értelmezhetjük:
(1) az oszlopokban, illetve a sorokban álló számok összegének kell különbözőnek lennie, de megengedhetők egyenlő sor- és oszlopösszegek;
(2) mind a 2n darab összegnek különbözőnek kell lennie.
Az (1) esetben minden n-re létezik megfelelő táblázat. Egy lehetőség például a következő: írjunk a táblázat egyik átlójának minden mezőjébe és az átló felett álló mezőkbe +1-et, az átlók alatt álló mezőkbe pedig -1-et. (Az ábrán az n=5 esetben láthatjuk ezt a kitöltést.) Ekkor bármely két sorban különböző számú +1-es, illetve -1-es szerepel és ugyanez igaz az oszlopokra is, így sem a sor-, sem pedig az oszlopösszegek között nincsenek egyenlő számok.
A (2) esetben semmilyen n-re nem létezik megfelelő kitöltés. A lehetséges összegek száma ugyanis n+1 és ez csak akkor legalább 2n, ha n=1, ekkor viszont az egyetlen sor és oszlop egyetlen szám, így a két összeg most is egyenlő.
 

   1      1      1      1      1     -1      1      1      1      1     -1     -1      1      1      1     -1     -1     -1      1      1     -1     -1     -1     -1      1   
 

 Tornyi Lajos (Nyíregyháza, 2.sz. Gyak. Ált. Isk., 8. o. t.)