Kezdőlap


Feladat:	Gy.2239	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Janszky József
Füzet:	1985/október, 310. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek, Egyenlőtlenségek, Egészrész, törtrész függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/január: Gy.2239

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

\begin{matrix} [x] + [2 x] + [4 x] + [8 x] + [16 x] + [32 x] = 12345. \end{matrix}

(1)

Megoldás. Mivel

x = [x] + {x}

, így

[n x] = [n [x] + n {x}] = n [x] + [n {x}]

, hiszen az egész-rész függvénynek az

n [x]

egész szám periódusa. Ha

n

pozitív egész, akkor a kapott összeg második tagja,

[n {x}]

nem negatív, és legfeljebb

n - 1

, mert

0 ≦ {x} < 1

. Azt kaptuk tehát, hogy ha

n

pozitív egész, akkor

\begin{matrix} n [x] ≦ [n x] ≦ n [x] + n - 1. \end{matrix}

Ezt az egyenlőtlenséget az (1) bal oldalán álló összes tagra alkalmazva

\begin{matrix} 63 [x] ≦ [x] + [2 x] + [4 x] + [8 x] + [16 x] + [32 x] ≦ 63 [x] + 57, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} 63 [x] ≦ 12 345 ≦ 63 [x] + 57. \end{matrix}

Rendezés után

\begin{matrix} 12 288 ≦ 63 [x] ≦ 12 345, azaz \\ 195 \frac{1}{21} ≦ [x] ≦ 195 \frac{20}{21} . \end{matrix}

Mivel a kapott intervallum nem tartalmaz egész számot, az egyenletnek nincs megoldása.