Feladat: Gy.2239 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Janszky József 
Füzet: 1985/október, 310. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletek, Egyenlőtlenségek, Egészrész, törtrész függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/január: Gy.2239

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345.(1)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345.(1)

Megoldás. Mivel x=[x]+{x}, így [nx]=[n[x]+n{x}]=n[x]+[n{x}], hiszen az egész-rész függvénynek az n[x] egész szám periódusa. Ha n pozitív egész, akkor a kapott összeg második tagja, [n{x}] nem negatív, és legfeljebb n-1, mert 0{x}<1. Azt kaptuk tehát, hogy ha n pozitív egész, akkor
n[x][nx]n[x]+n-1.

Ezt az egyenlőtlenséget az (1) bal oldalán álló összes tagra alkalmazva
63[x][x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]63[x]+57,
ahonnan
63[x]1234563[x]+57.
Rendezés után
1228863[x]12345,azaz195121[x]1952021.


Mivel a kapott intervallum nem tartalmaz egész számot, az egyenletnek nincs megoldása.