Kezdőlap


Feladat:	Gy.2238	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bognár Zsolt
Füzet:	1986/január, 11 - 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek egybevágósága, Kombinatorikus geometria síkban, Négyzetek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/január: Gy.2238

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a négyzetek oldalának hossza $2 a$ . Mivel egy négyzet középpontját a négyzet további pontjai közül a csúcsokkal kötik össze a leghosszabb szakaszok ‐jelen esetben $\sqrt[]{2} a$ hosszúságúak ‐, a négyzetek középpontjai a tengelyektől legfeljebb ekkora távolságra lehetnek, vagyis nem eshetnek az origó középpontú, tengelyekkel párhuzamos $2 \sqrt[]{2} a$ oldalú négyzeten kívülre (1. ábra).

1. ábra

Másfelől semelyik két négyzetnek nem lehet közös belső pontja, így a négyzetek középpontjai nem kerülhetnek közelebb egymáshoz, mint

2 a

.
Az 1. ábrán látható négyzetet a tengelyek négy olyan kisebb négyzetre osztják, amelyek átlói éppen

2 a

hosszúságúak. Mivel pedig egy négyzet két pontja közötti távolság abban az esetben a legnagyobb, ha valamelyik átló két végpontjáról van szó, az 1. ábrán látható négy

\sqrt[]{2} a

oldalú négyzet egyike sem tartalmazhat két középpontnál többet, és kettőt is csak úgy, ha ezek a szóban forgó négyzetnek éppen átellenes csúcsai.
Ha most négynél több

2 a

oldalú négyzetet akarunk a megadott módon elhelyezni, akkor a négy darab

\sqrt[]{2} a

oldalú négyzet közül legalább egy legalább

2

középpontot tartalmaz. Ezek a középpontok tehát a szóban forgó

\sqrt[]{2} a

a oldalú négyzetben valamelyik átló végpontjai.
Ha ennek az átlónak az origó az egyik végpontja, akkor csak az 1. ábrán látható

2 a

oldalú négyzet csúcsaiba helyezhetjük a további középpontokat, számuk így összesen legfeljebb

5

lehet. Ha pedig a másik átlóról van szó, akkor már csak két további középpont elhelyezésére van lehetőségünk az előbbi két pontnak az origóra vonatkozó tükörképeiben.

2. ábra

Azt kaptuk tehát, hogy a megadott módon legfeljebb

5

négyzet helyezhető el, és ez is csak úgy lehetséges, ha a négyzetek egyikének középpontja az origó, a további négynek pedig az 1. ábrán látható

2 \sqrt[]{2} a

oldalú négyzet csúcsai (2. ábra).