Feladat: Gy.2238 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bognár Zsolt 
Füzet: 1986/január, 11 - 12. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb sokszögek egybevágósága, Kombinatorikus geometria síkban, Négyzetek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/január: Gy.2238

Hány egybevágó négyzet helyezhető el a koordináta-rendszerben úgy, hogy semelyik kettőnek ne legyen közös belső pontja ,és mindkét koordinátatengelynek legyen pontja valamennyi négyzet kerületén?

Legyen a négyzetek oldalának hossza 2a. Mivel egy négyzet középpontját a négyzet további pontjai közül a csúcsokkal kötik össze a leghosszabb szakaszok ‐jelen esetben 2a hosszúságúak ‐, a négyzetek középpontjai a tengelyektől legfeljebb ekkora távolságra lehetnek, vagyis nem eshetnek az origó középpontú, tengelyekkel párhuzamos 22a oldalú négyzeten kívülre (1. ábra).
 
 
1. ábra
 

Másfelől semelyik két négyzetnek nem lehet közös belső pontja, így a négyzetek középpontjai nem kerülhetnek közelebb egymáshoz, mint 2a.
Az 1. ábrán látható négyzetet a tengelyek négy olyan kisebb négyzetre osztják, amelyek átlói éppen 2a hosszúságúak. Mivel pedig egy négyzet két pontja közötti távolság abban az esetben a legnagyobb, ha valamelyik átló két végpontjáról van szó, az 1. ábrán látható négy 2a oldalú négyzet egyike sem tartalmazhat két középpontnál többet, és kettőt is csak úgy, ha ezek a szóban forgó négyzetnek éppen átellenes csúcsai.
Ha most négynél több 2a oldalú négyzetet akarunk a megadott módon elhelyezni, akkor a négy darab 2a oldalú négyzet közül legalább egy legalább 2 középpontot tartalmaz. Ezek a középpontok tehát a szóban forgó 2a a oldalú négyzetben valamelyik átló végpontjai.
Ha ennek az átlónak az origó az egyik végpontja, akkor csak az 1. ábrán látható 2a oldalú négyzet csúcsaiba helyezhetjük a további középpontokat, számuk így összesen legfeljebb 5 lehet. Ha pedig a másik átlóról van szó, akkor már csak két további középpont elhelyezésére van lehetőségünk az előbbi két pontnak az origóra vonatkozó tükörképeiben.
 
 
2. ábra
 
Azt kaptuk tehát, hogy a megadott módon legfeljebb 5 négyzet helyezhető el, és ez is csak úgy lehetséges, ha a négyzetek egyikének középpontja az origó, a további négynek pedig az 1. ábrán látható 22a oldalú négyzet csúcsai (2. ábra).
 

 Bognár Zsolt (Bp. Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)