Kezdőlap


Feladat:	Gy.2237	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kerey Péter
Füzet:	1985/november, 386 - 387. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikus geometria, Sík parkettázás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/december: Gy.2237

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha létezik ilyen téglatest, annak térfogata osztható $5$ -tel, hiszen csupa $5$ térfogatú elemből tevődik össze. Ezért a téglatestnek legalább $1$ éle $5$ egység vagy $5$ többszöröse.
Ezek után próbálkozzunk a legegyszerűbb lehetséges alakzattal: legyen a téglatest $1$ rétegű, szélessége pedig $5$ , hosszát egyelőre ne rögzítsük. Kezdjük ezt kitölteni testjeinkkel Egy jó kezdeményt mutat az 1. ábra.

1. ábra

Vegyük észre, hogy a kitöltött rész határvonala tükrös a megjelölt pontra nézve. Ezért a kitöltést és a tükörképét össze tudjuk ,,tolni'' (1. ábra), azok egy

1 \times 5 \times 10

-es tömör téglatestet alkotnak (2. ábra).

2. ábra

Az összerakáshoz összesen

10

idomot használtunk fel, a feladat kérdésére tehát a válasz: igen,

20

-nál kevesebb ilyen idomból összerakható tömör téglatest.
Másfajta összerakást mutat a 3. és 4. ábra, ahol

12

idomból egy

3 \times 4 \times 5

-ös, illetve

16

idomból egy

4 \times 4 \times 5

-ös téglatestet készítettünk.

3. ábra

4. ábra

Megjegyzés. Az ,,összerakós játékok'' c. cikkünkben ( l. a 341. oldalon) további érdekességek olvashatók a feladattal kapcsolatban. Mivel az idom

25

példányából egy tömör

5 \times 5 \times 5

-ös kocka is kirakható, biztosan nem igaz a következő ,,nyilvánvaló'' állítás, amit több megoldónk is állított: ,,ha a nem szimmetrikus idom példányaiból egy szimmetrikus tömör téglatestet össze tudunk rakni, akkor az idomokat szimmetrikusan kell elhelyeznünk.''