Feladat: Gy.2237 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kerey Péter 
Füzet: 1985/november, 386 - 387. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kombinatorikus geometria, Sík parkettázás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/december: Gy.2237

Összeragasztunk 5 egybevágó, egységnyi élű kockát úgy, hogy közülük 4 hasábot alkosson 4 egységnyi magassággal, az ötödik pedig a két belső kocka egyikéhez kapcsolódjék egy teljes lapjával. 20-nál kevesebb ilyen testből összerakható-e egy tömör téglatest?

Ha létezik ilyen téglatest, annak térfogata osztható 5-tel, hiszen csupa 5 térfogatú elemből tevődik össze. Ezért a téglatestnek legalább 1 éle 5 egység vagy 5 többszöröse.
Ezek után próbálkozzunk a legegyszerűbb lehetséges alakzattal: legyen a téglatest 1 rétegű, szélessége pedig 5, hosszát egyelőre ne rögzítsük. Kezdjük ezt kitölteni testjeinkkel Egy jó kezdeményt mutat az 1. ábra.
 
 
1. ábra
 

Vegyük észre, hogy a kitöltött rész határvonala tükrös a megjelölt pontra nézve. Ezért a kitöltést és a tükörképét össze tudjuk ,,tolni'' (1. ábra), azok egy 1×5×10-es tömör téglatestet alkotnak (2. ábra).
 
 
1. ábra
 

Az összerakáshoz összesen 10 idomot használtunk fel, a feladat kérdésére tehát a válasz: igen, 20-nál kevesebb ilyen idomból összerakható tömör téglatest.
Másfajta összerakást mutat a 3. és 4. ábra, ahol 12 idomból egy 3×4×5-ös, illetve 16 idomból egy 4×4×5-ös téglatestet készítettünk.
 
 
3. ábra
 

 
 
4. ábra
 

 

 Kerey Péter (Bp., ELTE Apáczai Csere J. Gimn. II. o. t.)
 

Megjegyzés. Az ,,összerakós játékok'' c. cikkünkben ( l. a 341. oldalon) további érdekességek olvashatók a feladattal kapcsolatban. Mivel az idom 25 példányából egy tömör 5×5×5-ös kocka is kirakható, biztosan nem igaz a következő ,,nyilvánvaló'' állítás, amit több megoldónk is állított: ,,ha a nem szimmetrikus idom példányaiból egy szimmetrikus tömör téglatestet össze tudunk rakni, akkor az idomokat szimmetrikusan kell elhelyeznünk.''