Kezdőlap


Feladat:	Gy.2231	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/október, 309. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/december: Gy.2231

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

\begin{matrix} 4 x^{2} - 3 y & = x y^{3}, & (1) \\ x^{2} + x^{3} y^{2} & = 2 y . & (2) \end{matrix}

Megoldás. A két egyenlet összege rendezés után szorzattá alakítható.
Valóban,

5 x^{2} - 3 y + x^{3} y^{2} = x y^{3} + 2 y

, ahonnan

\begin{matrix} 5 x^{2} - 5 y + x^{3} y^{2} - x y^{3} = (x^{2} - y) (5 + x y^{2}) = 0. \end{matrix}

(3)

Mivel az (1) és a (3) egyenletekből álló rendszer gyökei azonosak az eredeti egyenletrendszer gyökeivel, a továbbiakban ezt vizsgáljuk.
(3)-ból kapjuk, hogy vagy

x^{2} = y

, vagy pedig

x y^{2} = - 5

.
Az első esetben (1)-be helyettesítve

x^{2} = x^{7}

, azaz

x^{2} (x^{5} - 1) = 0

adódik. Így vagy

x = 0

‐ és ekkor

y = 0

‐ vagy pedig

x = 1

és ekkor

y = 1

.
A második esetben

y \neq 0

, így

x = \frac{- 5}{y^{2}}

. Ezt (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} \frac{100}{y^{4}} - 3 y = - 5 y, ahonnan \\ - 50 = y^{5}, vagyis \\ y = \sqrt[5]{- 50} . \end{matrix}

Innen

x = \frac{- 5}{y^{2}}

felhasználásával

x = \frac{- 5}{\sqrt[5]{50^{2}}} = - \sqrt[5]{\frac{5}{4}}

. Az (1) és (3) egyenletrendszernek tehát három megoldása van:

x_{1} = y_{1} = 0

;

x_{2} = y_{2} = 1

és

x_{3} = - \sqrt[5]{\frac{5}{4}}

;

y_{3} = - \sqrt[5]{50}

. Megjegyzésünk értelmében ezek az eredeti egyenletrendszernek is megoldásai.