Feladat: Gy.2231 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1985/október, 309. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/december: Gy.2231

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:
4x2-3y=xy3,(1)x2+x3y2=2y.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

4x2-3y=xy3,(1)x2+x3y2=2y.(2)

Megoldás. A két egyenlet összege rendezés után szorzattá alakítható.
Valóban, 5x2-3y+x3y2=xy3+2y, ahonnan
5x2-5y+x3y2-xy3=(x2-y)(5+xy2)=0.(3)

Mivel az (1) és a (3) egyenletekből álló rendszer gyökei azonosak az eredeti egyenletrendszer gyökeivel, a továbbiakban ezt vizsgáljuk.
(3)-ból kapjuk, hogy vagy x2=y, vagy pedig xy2=-5.
Az első esetben (1)-be helyettesítve x2=x7, azaz x2(x5-1)=0 adódik. Így vagy x=0 ‐ és ekkor y=0 ‐ vagy pedig x=1 és ekkor y=1.
A második esetben y0, így x=-5y2 . Ezt (1)-be helyettesítve
100y4-3y=-5y,ahonnan-50=y5,vagyisy=-505.



Innen x=-5y2 felhasználásával x=-55025=-545. Az (1) és (3) egyenletrendszernek tehát három megoldása van: x1=y1=0; x2=y2=1 és x3=-545; y3=-505. Megjegyzésünk értelmében ezek az eredeti egyenletrendszernek is megoldásai.