Feladat: Gy.2219 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1985/december, 452 - 453. oldal  PDF file
Témakör(ök): Transzverzálisok, Körülírt kör, Húrnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/október: Gy.2219

Vágjunk ketté egy háromszöget az egyik csúcsán átmenő egyenessel. Így az eredetivel együtt három háromszöget kapunk. Igazoljuk, hogy a kapott három háromszög körülírt körének középpontja és a háromszög kiválasztott csúcsa egy körön fekszik.

Legyen az ABC háromszög kiválasztott csúcsa A, és messe az egyenes a BC oldalt P-ben. Az ABC, ABP, ACP háromszögek köré írt körök középpontja legyen rendre O, O1, O2. Azt kell igazolnunk, hogy ez a három pont és A egy körre esik. Ezt úgy tehetjük meg, hogy az AO1OO2 négyszögről megmutatjuk: húrnégyszög, vagyis szemközti szögeinek összege 180. Ekkor azonban kell tudnunk, hogy ezek a pontok milyen sorrendben alkotnak négyszöget, ami az ABC háromszög és a P pont helyzetének részletes elemzését kívánná ‐ és nem is biztos, hogy minden eset eszünkbe jutna. Ezért olyan feltételt keresünk, ami a pontok elhelyezkedésére való tekintet nélkül biztosítja, hogy egy körre esnek.
 
 
1. ábra
 

Legyen X és Y egy kör két pontja. A kerületi szögek tételét úgy fogalmazhatjuk, hogy a kör tetszőleges P pontjára a PX egyenest a PY egyenesbe vivő pozitív irányú forgásszög ugyanakkora (1. ábra), és ez fele annak, ami az OX egyenest-OY-ba viszi. Ez megfordítva is igaz: ha a sík tetszőleges Q pontjára a QX egyenest ugyanakkora (pozitív irányú) forgás viszi a QY egyenesbe, mint a kör valamely P pontjára PX-et PY-ba, akkor Q szükségképpen a körön van.
 
 
2. ábra
 

Vigye a pozitív irányú α szögű forgatás a PA egyenest PB-be (2. ábra). Mivel az A, B, P pontok az O1 középpontú körön vannak, azért az O1A egyenest 2α szögű elforgatás viszi O1B-be. Így O1A-t α szöggel elfordítva éppen AB felező merőlegesét kapjuk. Ám ezen az egyenesen rajta van az ABC háromszög körülírt körének O középpontja is ‐ tehát O1A-t O1 körül α szöggel elforgatva az O1O egyenest kapjuk.
Hasonlóan adódik az O2 középpontú, A, P és C pontokat tartalmazó körre, hogy O2A-t O2 körül α szöggel elfordítva AC felező merőlegesét, vagyis az O2O egyenest kapjuk.
A kerületi szögek tételének fentebb idézett megfordítását alkalmazzuk arra a körre, amelynek húrja AO, egy pontja pedig O1. Mivel O1A-t ugyanakkora szögű elforgatás viszi O1O-ba, mint O2A-t O2O-ba, azért O2 valóban pontja ennek a körnek, amit igazolni akartunk.
 
Megjegyzés. A megoldásban nem használtuk ki, hogy P pontja a BC szakasznak, így az állítás akkor is érvényes, ha P-t a BC egyenesen bárhol vesszük fel.