A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Megmutatjuk, hogy -nek a legkisebb, -nál nagyobb egész megfelel, azaz Az első egyenlőtlenség nyilvánvaló, hiszen egy -nál nagyobb szám négyzete nagyobb, mint , és . Másfelől
Elegendő igazolni, hogy Legyen , , , itt , , pozitív egészek és . Ekkor a bizonyítandó állítás a következő alakot ölti: A feltétel szerint , ahonnan A bal oldalon együtthatója egész, és mivel a jobb oldal pozitív, így legalább . Így egyrészt másrészt (4)-ből ; (5)-ből pedig . De és különböző egészek, így számtani közepük határozottan nagyobb mértani közepüknél. Igaz tehát, hogy vagyis , ahonnan rendezés után (2) adódik. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
II. megoldás. Induljunk ki az összefüggésből. Az -t prímszámok szorzataként felírva ezeket a prímeket ketté tudjuk osztani úgy is, hogy az egy-egy csoportba esők szorzata , illetve legyen, és úgy is, hogy a szorzatok értéke , valamint legyen. Ám akkor ezek a prímek négy csoportba oszthatók, mondjuk -be, -ba, -be és -be, úgy hogy a és -beli prímek szorzata , az és -belieké ; a -be és -be eső prímek szorzata a -t adja ki, a -ba és -be esők szorzata pedig -t. Az egy csoportba eső prímek szorzatát a megfelelő kisbetűvel jelölve azt kapjuk, hogy vannak olyan pozitív egész , , , számok, amelyekre Az alapján , azaz Akkor van olyan egész, amire , ha és közé esik egész szám, és ez biztosan így van, ha kettejük különbsége nagyobb -nél: Elegendő tehát ezt bizonyítanunk. (6) szerint , valamint nem negatívak, azért | | ahonnan A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a jobb oldalra alkalmazva adódik. Ez pedig a bizonyítandó (7) egyenlőtlenséggel egyezik meg, ha megmutatjuk, hogy az egyenlőség nem állhat fenn. Ha ugyanis a két oldal mégis egyenlő volna, akkor szükségképpen és , hiszen a számtani és mértani közepük egyenlő és ekkor , ellentétben a feltétellel.
|