|
Feladat: |
Gy.2179 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: könnyű |
Megoldó(k): |
Ájus F. , Balázs Á. , Bodrogi 365 Zs. , Csalánosi T. , Csott R. , Dinnyés Enikő , Ezer Éva , Gyuris T. , Gyüre P. , Hámori 967 Tünde , Heller Judit , Horváth S. , Horváth Sándor , Karsai T. , Kerey P. , Király Andrea , Klug R. , Kocsis Z. , Kucsera Itala , Ládonyi F. , Licsik I. , Ligeti Z. , Molnár K. , Montágh B. , Nagy J. , Nausch Á. , Némedi Varga Zs. , Nusser Z. , Papp 694 L. , Regős G. , Szabó 212 Z. , Szabó 529 G. , Szabó 544 A. , Szigeti Z. , Szinku Zs. , Szoboszlai L. , Tóth 324 T. , Török B. , Zsigmond L. |
Füzet: |
1985/január,
18 - 20. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Súlypont, Terület, felszín, Egyéb sokszögek geometriája, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/február: Gy.2179 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a nagyítás után kapott háromszög csúcsait rendre , , -mel, ahol a -vel szemközti csúcs. Tudjuk, hogy az háromszög az háromszög súlypontjából arányú kicsinyítéssel jött létre, azaz e két háromszög súlypontja megegyezik. Jelölje a súlyvonal és oldal metszéspontját , ekkor , , ahonnan . Az szakasz metszi a szakaszt, és így a háromszög , oldalszakaszait is. Ez pedig azt jelenti, hogy a valódi (konvex) hatszög. Ha viszont , akkor a képháromszög kisebb, mint az eredeti háromszög; ha pedig , akkor a képháromszög tartalmazza a háromszöget, a megfelelő oldalak nem metszik egymást, nem jön létre hatszög.
1. ábra Legyen tehát , és jelöljük a és szakaszok metszéspontját -vel. Az és háromszögek hasonlósága miatt és így | |
A , , háromszögek mindegyike hasonló a háromszöghöz, és a hasonlóság aránya alapján mindhárom esetben. A kis háromszögek tehát egybevágóak, területük a háromszög területének -szerese. Jelöljük a háromszög területét -vel. A hatszög területét úgy kaphatjuk meg, hogy -ből kivonjuk a kis háromszög területének összegét. Ennek kell kétszer akkorának lennie, mint az háromszög területe. Ám az háromszög területe , ezért a következő összefüggésnek kell fennállnia: , azaz . A helyébe az (1) szerinti -ot helyettesítve , amit az feltétel mellett csak a érték elégít ki. Így értéke csak lehet. Ha -t ennyinek választjuk, (1) alapján az egybevágó , , háromszögek a háromszögből arányú kicsinyítéssel jönnek létre, tehát a hatszög területe
valóban megegyezik az háromszög területének kétszeresével.
Megjegyzések. 1. A feltételként kapott egyenletet a értéken kívül a is kielégíti. Mi lehet ennek a második megoldásnak a geometriai jelentése? Az háromszöget -szorosára kinagyítva, a kapott háromszög oldalai nem metszik a háromszög oldalszakaszait, hanem csak oldalegyeneseit. A keletkezett idom "hurkolt'' hatszög. Ha ennek "területét'' úgy definiáljuk, hogy a háromszög területéből levonjuk a vonalkázott "hurkok'' területét, akkor erre a hatszögre is teljesül, hogy "területe'' kétszerese az háromszög területének (2. ábra).
2. ábra 2. A maximális pontszámot azok kapták meg, akik azt is indokolták, hogy a egyenlet megoldásaként adódó miért megoldása a feladatnak is (és nemcsak ennek az egyenletnek), illetve hogy a másik, miért nem megoldás.
|
|