Feladat: Gy.2157 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1984/április, 170 - 171. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai bizonyítások, Gyakorlat, Hasábok, Érintőnégyszögek, Gömbi geometria
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/november: Gy.2157

Bizonyítsuk be, hogy ha egy paralelepipedon összes éle érintője egy gömbnek, akkor a paralelepipedon kocka.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A paralelepipedon tetszőleges lapsíkja a gömböt olyan körben metszi, melyet a lap élei érintenek. Így a paralelepipedon minden lapja (amik paralelogrammák) érintőnégyszög, vagyis a lapok rombuszok.
Válasszuk ki a paralelepipedon egyik L1 lapját, ez a gömböt egy körben metszi; a kör O1 középpontját és a gömb O középpontját összekötő egyenes merőleges az L1 síkra. A paralelepipedonnak L1-gyel párhuzamos L2 lapsíkjából a gömb az előzővel egybevágó kört metsz ki; ennek középpontja legyen O2. Az OO2 ugyancsak merőleges L2-re. Mivel L1 és L2 egymással párhuzamos síkok, így O, O1, O2 egy egyenesen vannak: az O1O2 vektor merőleges mindkét lap síkjára. Az O1 és O2 a paralelepipedon két szemben fekvő lapjának középpontjai, tehát az O1O2-ral való eltolás az L1 lapot L2-be viszi át, s mivel O1O2 merőleges L1-re, a két lap megfelelő csúcsait összekötő élek merőlegesek a lapok síkjaira. Minthogy ezt bármely két szemközti lappárra elmondhatjuk, azt kapjuk, hogy a paralelepipedon egy csúcsba összefutó élei páronként merőlegesek egymásra. A lapok rombuszok, tehát a paralelepipedon kocka.