Kezdőlap


Feladat:	Gy.2156	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lendvai Gábor
Füzet:	1984/április, 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/november: Gy.2156

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az öt szakasz nagyság szerint $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ . Az $a$ , $b$ , $c$ oldalakból szerkesztett háromszög akkor és csak akkor derék- vagy tompaszögű, ha $a^{2} + b^{2} \leq c^{2}$ , hasonló igaz a többi esetre is.
Tegyük fel, hogy az $a$ , $b$ , $c$ ; $b$ , $c$ , $d$ , valamint $c$ , $d$ , $e$ szakaszokból készíthető háromszögek mindegyike derék- vagy tompaszögű. Ekkor

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} \leq c^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} \leq d^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} c^{2} + d^{2} \leq e^{2} . \end{matrix}

Adjuk össze az első két egyenlőtlenséget, majd figyelembe véve a harmadik összefüggést

\begin{matrix} a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} \leq c^{2} + d^{2} \leq e^{2} . \end{matrix}

A bal oldalt nyilván nem növeljük, ha ott

b

helyébe

a

-t,

c

helyébe

b

-t írunk, azaz

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} \leq a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} \leq e^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a + b \leq e . \end{matrix}

Ez azonban ellentmond a háromszög egyenlőtlenségnek; az

a

b

e

szakaszokból nem lehet háromszöget szerkeszteni, ellentétben a feltevésünkkel. Az öt szakaszból szerkesztendő háromszögek között tehát van legalább egy hegyesszögű.