Legyenek a számok nagyság szerint növekedő sorrendben $a_1$, $a_2$, $\text{...}$, $a_n$. Jelölje $S_k$ az $a_1+a_2+\text{...}+a_k$ összeget. Mivel az $a_i$ számokat nagyság szerint rendeztük, azért az $S_1$, $S_2$, $\text{...}$, $S_n$ számok először csökkenhetnek (ameddig az $a_i$-k negatívak), azután pedig nőnek. $S_{k-1}$ és $S_k$ között a különbség legfeljebb $3$, és $S_n=a_1+a_2+\text{...}+a_n=99$, így van olyan $k$, amelyre $S_k-1\le 31<S_k$, ekkor persze $S_k\le 34$. Ha itt egyenlőség van, akkor $a_k=3$, ahonnan $a_{k+1}=\text{...}=a_n=3$, hiszen a számok nagyság szerint következnek és egyikük sem nagyobb $3$-nál. Ekkor viszont $a_{k+1}+\text{...}+a_n=99-S_k=65$ osztható volna $3$-mal, ami nem igaz, vagyis $S_k<34$.
Ha $32<S_k$, akkor készen vagyunk, így föltehető, hogy $31<S_k\le 32$.
Ha most az $a_{k+1}$, $a_{k+2}$, $\text{...}$, $a_n$ számok között találunk néhány olyat, amelyek $S$ összegére $32<S<35$, akkor ismét készen vagyunk. Ha ugyanis $S<34$, akkor maga $S$ megfelelő, ha pedig $34\le S<35$, akkor a sem $S_k$-ban, sem pedig $S$-ben nem szereplő számok összege $99-S_k-S$, ez pedig $32$ és $34$ közé esik