Feladat: Gy.2153 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh 961 Cs. ,  Benczúr A. ,  Csizmadia Gy. ,  Domokos M. ,  Hajdú S. Z. ,  Hornyák Z. ,  Jedlovszky P. ,  Juhász 447 T. ,  Klug R. ,  Regős G. ,  Szabó 333 G. ,  Szalay Gy. ,  Szkaliczki T. ,  Weszelovszky Éva 
Füzet: 1984/április, 167. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/november: Gy.2153

n darab valós szám összege 99. Tudjuk, hogy a számok abszolút értéke legfeljebb 3. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható közülük néhány olyan, amelyek összege 32 és 34 közé esik.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a számok nagyság szerint növekedő sorrendben a1, a2, ..., an. Jelölje Sk az a1+a2+...+ak összeget. Mivel az ai számokat nagyság szerint rendeztük, azért az S1, S2, ..., Sn számok először csökkenhetnek (ameddig az ai-k negatívak), azután pedig nőnek. Sk-1 és Sk között a különbség legfeljebb 3, és Sn=a1+a2+...+an=99, így van olyan k, amelyre Sk-131<Sk, ekkor persze Sk34. Ha itt egyenlőség van, akkor ak=3, ahonnan ak+1=...=an=3, hiszen a számok nagyság szerint következnek és egyikük sem nagyobb 3-nál. Ekkor viszont ak+1+...+an=99-Sk=65 osztható volna 3-mal, ami nem igaz, vagyis Sk<34.
Ha 32<Sk, akkor készen vagyunk, így föltehető, hogy 31<Sk32.
Ha most az ak+1, ak+2, ..., an számok között találunk néhány olyat, amelyek S összegére 32<S<35, akkor ismét készen vagyunk. Ha ugyanis S<34, akkor maga S megfelelő, ha pedig 34S<35, akkor a sem Sk-ban, sem pedig S-ben nem szereplő számok összege 99-Sk-S, ez pedig 32 és 34 közé esik

32=99-32-35<99-Sk-S<99-31-34=34.
Az ak+1, ak+2, ..., an, számokat addig adogassuk össze, míg először kapunk 32-nél nagyobb összeget. Ez az S összeg nem nagyobb 35-nél, tehát megfelelő, hacsak nem éppen 35. Ebben az esetben viszont azok a számok, amelyek sem Sk-ban, sem pedig ebben az S-ben nem szerepelnek, valamennyien 3-mal egyenlők. Másrészt összegük 99-Sk-S=64-Sk, ami 31<Sk32 miatt nem lehet 3-mal osztható egész.
Ezzel a feladat állítását igazoltuk.