Feladat:	Gy.2114	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Birkás Gy. ,  Bóna M. ,  Bujdosó 419 L. ,  Csala P. ,  Fazekas Zs. ,  Giba P. ,  Hraskó A. ,  Kiszel István ,  Kós G. ,  Megyeri A. ,  Megyesi G. ,  Pintér Gabriella ,  S. Fülöp T. ,  Simon Gy. ,  Szabó Sz. ,  Szalay Gy. ,  Szirmai Á. ,  Szkaliczki T. ,  Uhlmann E.
Füzet:	1983/november, 143. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Súlyvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/március: Gy.2114

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle 2s_a>\sqrt[]{a\left(8s-9a\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ (1) Megoldás. Felhasználjuk, hogy az a oldalhoz tartozó súlyvonal hossza a szokásos jelölésekkel $\begin{array}{c}{\displaystyle s_a=\frac{1}{2}\sqrt[]{2b^2+2c^2-a^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez például a Pitagorasz tétel segítségével bizonyítható. (Lásd Horvay K.‐Reiman I.: Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1673. feladat.) Ezt és a $2s=a+b+c$ összefüggést (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{2b^2+2c^2-a^2}>\sqrt[]{a\left(4b+4c-5a\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A bal oldali gyök alatt álló kifejezés biztosan pozitív. A jobb oldal azonban csak akkor értelmes, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle 4b+4c-5a\geqq 0.}\end{array}$ (3) E feltétel mellett (2) mindkét oldalát négyzetre emelhetjük: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2b^2+2c^2-a^2>4ab+4ac-5a^2\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 2{\left(b-a\right)}^2+2{\left(c-a\right)}^2>0.}\end{array}$ (4) A keresett háromszögek tehát azok, melyekben az oldalakat tudjuk úgy csoportosítani, hogy (3) és (4) egyaránt teljesüljön. Akárhogyan is csoportosítjuk az oldalakat, (4) biztosan nem teljesül, ha a háromszög szabályos. Ha viszont a háromszög nem szabályos, az oldalakat bárhogyan is csoportosítjuk, (4) igaz lesz. Így a nem szabályos háromszögek közül azokat kell megkeresnünk, melyekben az oldalak megfelelő csoportosításával (3), azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\left(b-a\right)+\left(c-a\right)+3c\ge 0}\end{array}$ teljesül. Ez pedig biztosan így van, ha a a háromszög (egyik) legrövidebb oldala. Ekkor ugyanis $b-a\ge 0$ és $c-a\ge 0$, és nem‐negatív mennyiségek összege is nem‐negatív. Végeredményben tehát a szabályos háromszöget kivéve minden háromszögben van olyan "$a$'' oldal ‐ nevezetesen a legrövidebb ‐, hogy a hozzá tartozó $s_a$ súlyvonalra teljesül az (1) egyenlőtlenség.    Kiszel István (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)