Feladat: Gy.2114 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Birkás Gy. ,  Bóna M. ,  Bujdosó 419 L. ,  Csala P. ,  Fazekas Zs. ,  Giba P. ,  Hraskó A. ,  Kiszel István ,  Kós G. ,  Megyeri A. ,  Megyesi G. ,  Pintér Gabriella ,  S. Fülöp T. ,  Simon Gy. ,  Szabó Sz. ,  Szalay Gy. ,  Szirmai Á. ,  Szkaliczki T. ,  Uhlmann E. 
Füzet: 1983/november, 143. oldal  PDF file
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Súlyvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/március: Gy.2114

Milyen háromszögben igaz, hogy van olyan a oldala, amelyhez tartozó sa súlyvonalára teljesül a következő egyenlőtlenség:
2sa>a(8s-9a),
ahol 2s a háromszög kerületét jelenti?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2sa>a(8s-9a),(1)
Megoldás. Felhasználjuk, hogy az a oldalhoz tartozó súlyvonal hossza a szokásos jelölésekkel
sa=122b2+2c2-a2.
Ez például a Pitagorasz tétel segítségével bizonyítható. (Lásd Horvay K.‐Reiman I.: Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1673. feladat.) Ezt és a 2s=a+b+c összefüggést (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy
2b2+2c2-a2>a(4b+4c-5a).(2)

A bal oldali gyök alatt álló kifejezés biztosan pozitív. A jobb oldal azonban csak akkor értelmes, ha
4b+4c-5a0.(3)
E feltétel mellett (2) mindkét oldalát négyzetre emelhetjük:
2b2+2c2-a2>4ab+4ac-5a2,
azaz
2(b-a)2+2(c-a)2>0.(4)
A keresett háromszögek tehát azok, melyekben az oldalakat tudjuk úgy csoportosítani, hogy (3) és (4) egyaránt teljesüljön.
Akárhogyan is csoportosítjuk az oldalakat, (4) biztosan nem teljesül, ha a háromszög szabályos. Ha viszont a háromszög nem szabályos, az oldalakat bárhogyan is csoportosítjuk, (4) igaz lesz. Így a nem szabályos háromszögek közül azokat kell megkeresnünk, melyekben az oldalak megfelelő csoportosításával (3), azaz
4(b-a)+(c-a)+3c0
teljesül. Ez pedig biztosan így van, ha a a háromszög (egyik) legrövidebb oldala. Ekkor ugyanis b-a0 és c-a0, és nem‐negatív mennyiségek összege is nem‐negatív.
Végeredményben tehát a szabályos háromszöget kivéve minden háromszögben van olyan "a'' oldal ‐ nevezetesen a legrövidebb ‐, hogy a hozzá tartozó sa súlyvonalra teljesül az (1) egyenlőtlenség.
 

 Kiszel István (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)