|
Feladat: |
Gy.2103 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bán Rita , Birkás Gy. , Boros 966 Z. , Bujdosó 419 L. , Domokos M. , Edvi T. , Gróf Andrea , Hajdú S. Z. , Hetyei Judit , Hraskó A. , Jedlovszky P. , Kós G. , Montágh B. , Péter O. , Pintér Gabriella , Ribényi Á. , Simon Gy. , Somogyi 196 A. , Tóth L. , Zsigri G. |
Füzet: |
1983/október,
66 - 67. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvényegyenletek, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1983/február: Gy.2103 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feltételben helyére 1-et írva kapjuk, hogy minden esetén , azaz minden -re | | (1) | A feladat egy megoldását kapjuk, ha minden -re az első eset teljesül, vagyis a függvény helyen felvett értéke minden -re: Valóban, ekkor | |
Hasonlóan megoldást kapunk, ha minden -re (1)-ben a második lehetőség teljesül, azaz Vajon vannak-e olyan függvények, melyeknél mindkét lehetőség előfordul, vagyis amikor valamilyen, 1-től különböző valós számra , és valamilyen, szintén 1-től különböző valós számra . Beláthatjuk, hogy ilyen megoldása nincs a feladatnak. Ugyanis a feladatban szereplő feltételt erre az () számpárra felírva | | azaz | | Ha két szám ‐ jelen esetben () és () ‐ különbségének és összegének abszolút értéke egyenlő, akkor a két szám egyike 0, vagyis vagy , vagy . Ez pedig lehetetlen, hiszen mindkét lehetőséget kizártuk. A feladat feltételének tehát két függvény tesz eleget: az egyik az helyen az értéket veszi fel, a másik az helyen az értéket. Megjegyzés. A dolgozatok nagy része azt a pontatlan következtetést tartalmazta, hogy ha , akkor vagy , vagy . A következtetés ebben a formájában csak akkor helyes, ha ezekben az egyenlőségekben a megfelelő függvények egy adott helyettesítési értéke szerepel. A megoldók azonban magukra a függvényekre gondoltak. Így viszont az állítás már nem igaz: végtelen sok olyan függvény van, amelyre . Az abszolút érték felbontásának az egyenletek megoldásakor használt módszere itt azért vezet hibás okoskodáshoz, mert most maga a függvény az ismeretlen, nem pedig értelmezési tartományának bizonyos elemei. A ugyanúgy jelöli a függvényt, és a helyettesítési értéket is. Ez általában nem zavaró. Itt azonban sokakat megtévesztett, és egy helyettesítési értékekről szóló állítást formailag egy, a függvényről szóló állítással azonosítottak. |
|